Evaluación de Matemáticas

Ejercicio 1

Respuesta: -0,166667

La división va antes que la resta. Para dividir se multiplica por la inversa; después se reduce a común denominador.

1. 54 : 32 = 54 × 23 = 1012 = 56
2. 23 = 46
3. 46 − 56 = −16

Ejercicio 2

Respuesta: 340

Una fracción irreducible da un decimal exacto solo si su denominador no tiene más factores primos que 2 y 5.

1. 12 = 2² × 3 → tiene el factor 3: periódico
2. 40 = 2³ × 5 → exacto: 340 = 0,075
3. 6 = 2 × 3 → periódico
4. 15 = 3 × 5 → periódico

Ejercicio 3

Respuesta: -2

Una base negativa con exponente impar da un resultado negativo, y un exponente negativo invierte la base (no cambia el signo).

1. (−2)³ = −8
2. 2⁻² = 12² = 14
3. −8 × 14 = −2

Ejercicio 4

Respuesta: 4,5 × 10⁻⁴

En notación científica el número se escribe a × 10ⁿ con 1 ≤ a < 10. Aquí la coma se desplaza 4 lugares a la derecha, así que el exponente es −4.

1. 0,00045 → 4,5 (la coma avanza 4 lugares)
2. 0,00045 = 4,5 × 10⁻⁴
3. 45 y 0,45 no cumplen 1 ≤ a < 10

Ejercicio 5

Respuesta: 4 h

Más grifos, menos tiempo: es una proporcionalidad inversa, así que el producto grifos × horas es constante.

1. 8 × 6 = 48
2. 12 × x = 48
3. x = 48 : 12 = 4 horas

Ejercicio 6

Respuesta: 210 €

Para aplicar una disminución del p %, se multiplica por el índice de variación 1 − p100.

1. Índice: 1 − 0,16 = 0,84
2. 250 × 0,84 = 210 €
3. Comprobación: el 16 % de 250 es 40 y 250 − 40 = 210

Ejercicio 7

Respuesta: 1 → A · 2 → B · 3 → E · 4 → C · 5 → D

Prisma y cilindro: área de la base por la altura. Pirámide y cono: la tercera parte de ese producto. La esfera tiene su propia fórmula.

1. Prisma: A_base × h
2. Pirámide: A_base × h3
3. Cilindro: πr²h (la base es un círculo)
4. Cono: πr²h3
5. Esfera: 43πr³

Ejercicio 8

Respuesta: 20

La fórmula de Euler relaciona caras, vértices y aristas de un poliedro convexo: C + V = A + 2.

1. 12 + V = 30 + 2
2. V = 32 − 12 = 20
3. Es el caso del dodecaedro regular

Ejercicio 9

Respuesta: 2400 L

El volumen de un ortoedro es largo × ancho × alto. Después se pasa a litros sabiendo que 1 m³ = 1000 L.

1. V = 2 × 1,5 × 0,8 = 2,4 m³
2. 2,4 m³ = 2,4 × 1000 L = 2400 L

Ejercicio 10

Respuesta: 37,7 cm³

El volumen del cono es la tercera parte del de un cilindro con la misma base y la misma altura: V = πr²h3.

1. V = π × 3² × 43
2. = 36π3 = 12π
3. 12π ≈ 37,70 cm³

Ejercicio 11

Respuesta: 17 cm

Por el teorema de Pitágoras, el cuadrado de la hipotenusa es la suma de los cuadrados de los catetos.

1. a² = 8² + 15² = 64 + 225 = 289
2. a = √289 = 17 cm

Ejercicio 12

Respuesta: 6 cm

La altura divide la base en dos mitades y forma dos triángulos rectángulos cuya hipotenusa es el lado igual. Para hallar un cateto se resta.

1. Mitad de la base: 16 : 2 = 8 cm
2. h² = 10² − 8² = 100 − 64 = 36
3. h = √36 = 6 cm

Ejercicio 13

Respuesta: Acutángulo

Se compara el cuadrado del lado mayor con la suma de los cuadrados de los otros dos.

1. Lado mayor: 9² = 81
2. 6² + 7² = 36 + 49 = 85
3. 81 < 85 → el triángulo es acutángulo

Ejercicio 14

Respuesta: 18 m

Los rayos del sol son paralelos, así que los triángulos formados por cada objeto y su sombra son semejantes: sus lados son proporcionales.

1. h1,5 = 242
2. 242 = 12
3. h = 1,5 × 12 = 18 m

Ejercicio 15

Respuesta: 1,5 km

La escala 1 : 25 000 significa que 1 cm del mapa son 25 000 cm en la realidad. Después se pasa de centímetros a kilómetros dividiendo entre 100 000.

1. 6 × 25 000 = 150 000 cm
2. 150 000 cm = 1500 m
3. 1500 m = 1,5 km

Ejercicio 16

Respuesta: x² − 6x + 9

Es el cuadrado de una diferencia: (a − b)² = a² − 2ab + b². No olvides el doble producto.

1. a = x y b = 3
2. a² = x², 2ab = 2 × x × 3 = 6x, b² = 9
3. (x − 3)² = x² − 6x + 9

Ejercicio 17

Respuesta: 4x²(3x − 2)

El máximo factor común es el m.c.d. de los coeficientes por la menor potencia de x que aparece.

1. m.c.d.(12, 8) = 4 y la menor potencia de x es x²
2. 12x³ = 4x² × 3x y 8x² = 4x² × 2
3. 12x³ − 8x² = 4x²(3x − 2)

Ejercicio 18

Respuesta: 5

Se multiplican todos los términos por el m.c.m. de los denominadores, 6. Atención al signo menos delante de la segunda fracción: hay que poner paréntesis.

1. 3(x + 1) − 2(x − 2) = 12
2. 3x + 3 − 2x + 4 = 12
3. x + 7 = 12, x = 5
4. Comprobación: 62 − 33 = 3 − 1 = 2 ✓

Ejercicio 19

Respuesta: x = 5 y x = −3

Se aplica la fórmula general x = −b ± √(b² − 4ac)2a con a = 1, b = −2 y c = −15.

1. b² − 4ac = 4 + 60 = 64
2. x = 2 ± 82
3. x₁ = 102 = 5 y x₂ = −62 = −3
4. Comprobación: 25 − 10 − 15 = 0 ✓ y 9 + 6 − 15 = 0 ✓

Ejercicio 20

Respuesta: 4 · 3

Los coeficientes de y son opuestos (+1 y −1): por reducción, sumando las dos ecuaciones desaparece la y.

1. (2x + y) + (x − y) = 11 + 1 → 3x = 12 → x = 4
2. 4 − y = 1 → y = 3
3. Comprobación: 2 × 4 + 3 = 11 ✓ y 4 − 3 = 1 ✓

Ejercicio 21

Respuesta: 3 · −1

La pendiente es el cociente entre la variación de y y la variación de x. La ordenada en el origen es el valor de y cuando x = 0.

1. m = 5 − (−1)2 − 0 = 62 = 3
2. El punto (0, −1) está en el eje Y, así que n = −1
3. Ecuación: y = 3x − 1

Ejercicio 22

Respuesta: Cuantitativa continua

La estatura es numérica y puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo (1,62 m, 1,625 m…): es cuantitativa continua.

1. Es un número → cuantitativa
2. Puede tomar cualquier valor intermedio → continua

Ejercicio 23

Respuesta: 4,5 h

La media es la suma de todos los datos dividida entre el número de datos.

1. Suma: 2 + 5 + 3 + 5 + 8 + 4 + 5 + 4 = 36
2. Número de datos: 8
3. Media: 36 : 8 = 4,5 horas

Ejercicio 24

Respuesta: 4,5 · 5 · 6

Para la mediana hay que ordenar los datos; con un número par de datos es la media de los dos centrales. La moda es el valor más repetido y el rango, máximo menos mínimo.

1. Ordenados: 2, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 8
2. Mediana: 4 + 52 = 4,5
3. Moda: 5 (aparece 3 veces)
4. Rango: 8 − 2 = 6

Ejercicio 25

Respuesta: 108 °

El ángulo de cada sector es su frecuencia relativa multiplicada por 360°.

1. Frecuencia relativa: 1240 = 0,3
2. 0,3 × 360° = 108°