Exercice 1 sur 10
Vrai ou fauxRappel : si −1 < q < 1, alors qⁿ tend vers 0 ; si q > 1, alors qⁿ tend vers +∞.
Vrai ou faux : la suite (0,7ⁿ) tend vers 0.
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Analyse : suites et raisonnement par récurrence
10 exercices progressifs, des bases jusqu’au niveau attendu, avec une correction détaillée.
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Retravailler : Analyse : suites et raisonnement par récurrence
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Exercice 1 — Coche « Vrai » ou « Faux ».
Rappel : si −1 < q < 1, alors qⁿ tend vers 0 ; si q > 1, alors qⁿ tend vers +∞.
Vrai ou faux : la suite (0,7ⁿ) tend vers 0.VraiFaux
Exercice 2
Rappel : tend vers 0 quand n tend vers +∞.
Détermine la limite de la suite définie pour n ≥ 1 par un = 5 − .Écris tes calculs :
Réponse : ………………
Exercice 3 — Coche la bonne réponse.
Rappel : les formes indéterminées sont ∞ − ∞, 0 × ∞, et : on ne peut pas conclure directement.
Pour laquelle de ces suites obtient-on une forme indéterminée en appliquant directement les règles d’opérations ?- un = n² + n
- un = n² − n
- un = n² × n
- un = 3 + n²
Exercice 4 — Coche la bonne réponse.
Rappel : pour lever une forme indéterminée ∞ − ∞ avec un polynôme, on factorise par le terme de plus haut degré.
Quelle est la limite de un = n² − 5n ?
Aide : pour n ≥ 1, n² − 5n = n²(1 − ).- +∞
- −∞
- 0
- −5
Exercice 5
Rappel : pour un quotient de polynômes en n, on factorise le numérateur et le dénominateur par leur terme de plus haut degré.
Détermine la limite de un = .Écris tes calculs :
Réponse : ………………
Exercice 6
Détermine la limite de la suite définie pour n ∈ ℕ par un = 10 × 0,9ⁿ + 1.
Aide : commence par la limite de 0,9ⁿ.Écris tes calculs :
Réponse : ………………
Exercice 7 — Complète les trous.
Rappel (théorème des gendarmes) : si vn ≤ un ≤ wn et si (vn) et (wn) ont la même limite ℓ, alors (un) tend vers ℓ.
On étudie un = pour n ≥ 1. Comme −1 ≤ (−1)ⁿ ≤ 1, on a − ≤ un ≤ . Complète.Les deux suites qui encadrent un tendent toutes les deux vers . D’après le théorème des , la suite (un) converge et sa limite est .
Exercice 8 — Relie chaque élément de gauche à celui de droite.
Rappel : une démonstration par récurrence comporte trois étapes. Associe chaque étape à son contenu.
- 1. Initialisation
- 2. Hérédité
- 3. Conclusion
- A. On affirme que P(n) est vraie pour tout entier n à partir du premier rang.
- B. On suppose P(n) vraie pour un entier n fixé et on démontre P(n + 1).
- C. On vérifie que la propriété est vraie au premier rang, par exemple P(0).
Exercice 9 — Complète les trous.
La suite (un) est définie par u0 = 1 et un+1 = 0,5un + 2. On démontre par récurrence que un ≤ 4 pour tout n ∈ ℕ.
Initialisation : u0 = 1 ≤ 4.
Hérédité : on suppose un ≤ 4 pour un entier n fixé. Complète (nombres uniquement).En multipliant par 0,5 (positif, l’ordre est conservé) : 0,5un ≤ . En ajoutant 2 : 0,5un + 2 ≤ , c’est-à-dire un+1 ≤ 4.
Exercice 10
On reprend u0 = 1 et un+1 = 0,5un + 2. On admet que (un) est croissante ; on a montré qu’elle est majorée par 4. Elle converge donc vers un réel ℓ, qui vérifie ℓ = 0,5ℓ + 2.
Calcule ℓ.Écris tes calculs :
Réponse : ………………
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Retravailler : Analyse : suites et raisonnement par récurrence
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Exercice 1
Réponse : Vrai
C’est vrai : 0,7 est strictement compris entre −1 et 1, donc 0,7ⁿ tend vers 0.
- Les premiers termes le confirment : 1 ; 0,7 ; 0,49 ; 0,343 ; 0,2401… ils se rapprochent de 0.
- Attention : 1,01ⁿ, lui, tend vers +∞, même s’il augmente lentement.
Exercice 2
Réponse : 5
On calcule la limite de chaque morceau, puis on applique les règles d’opérations sur les limites.
- → 0, donc = 3 × → 0.
- un = 5 − → 5 − 0 = 5.
Exercice 3
Réponse : un = n² − n
n² → +∞ et n → +∞ : la différence n² − n est de la forme ∞ − ∞, indéterminée.
- n² + n : +∞ + ∞ = +∞, pas d’indétermination.
- n² × n : +∞ × +∞ = +∞, pas d’indétermination.
- 3 + n² : 3 + ∞ = +∞, pas d’indétermination.
- n² − n : ∞ − ∞, forme indéterminée.
Exercice 4
Réponse : +∞
Après factorisation, il n’y a plus d’indétermination : on a un produit de limites connues.
- → 0, donc 1 − → 1.
- n² → +∞.
- Par produit : n²(1 − ) → +∞ × 1 = +∞.
Exercice 5
Réponse : 2
C’est une forme . On factorise par n en haut et en bas, puis on simplifie.
- Pour n ≥ 1 : 4n + 1 = n(4 + ) et 2n + 3 = n(2 + ), donc un = (4 + ) ÷ (2 + ).
- → 0 et → 0.
- lim un = = 2.
Exercice 6
Réponse : 1
La raison 0,9 est strictement comprise entre −1 et 1 : 0,9ⁿ tend vers 0.
- lim 0,9ⁿ = 0
- lim 10 × 0,9ⁿ = 10 × 0 = 0
- lim un = 0 + 1 = 1
Exercice 7
Réponse : 0 · gendarmes · 0
On encadre la suite par deux suites plus simples ayant la même limite.
- − → 0 et → 0.
- Le théorème des gendarmes (ou d’encadrement) donne lim un = 0.
Exercice 8
Réponse : 1 → C · 2 → B · 3 → A
Les deux premières étapes sont indispensables : sans initialisation, une propriété héréditaire peut être toujours fausse.
- Initialisation : le premier domino tombe.
- Hérédité : chaque domino qui tombe fait tomber le suivant.
- Conclusion : tous les dominos tombent.
Exercice 9
Réponse : 2 · 4
On part de l’hypothèse de récurrence un ≤ 4 et on reconstruit un+1 étape par étape, en appliquant les mêmes opérations aux deux membres.
- un ≤ 4 ⟹ 0,5un ≤ 0,5 × 4 = 2 (on multiplie par un nombre positif).
- 0,5un + 2 ≤ 2 + 2 = 4, donc un+1 ≤ 4 : la propriété est héréditaire.
- Conclusion : pour tout n ∈ ℕ, un ≤ 4.
Exercice 10
Réponse : 4
Croissante et majorée, la suite converge (théorème de convergence monotone). Comme la fonction x ↦ 0,5x + 2 est continue, la limite ℓ vérifie l’équation « point fixe » ℓ = 0,5ℓ + 2.
- ℓ = 0,5ℓ + 2
- ℓ − 0,5ℓ = 2, soit 0,5ℓ = 2
- ℓ = 4
Ces exercices reprennent pas à pas les limites de suites et le raisonnement par récurrence : suites géométriques, opérations sur les limites, formes indéterminées, théorème des gendarmes, convergence monotone. Chaque énoncé commence par un rappel. Lis chaque correction en entier, même quand tu as juste : c’est là que se trouvent les méthodes.
Exercices corrigés : 0 / 10
Exercice 2 sur 10
CalculRappel : tend vers 0 quand n tend vers +∞.
Détermine la limite de la suite définie pour n ≥ 1 par un = 5 − .Exercice 3 sur 10
QCMRappel : les formes indéterminées sont ∞ − ∞, 0 × ∞, et : on ne peut pas conclure directement.
Pour laquelle de ces suites obtient-on une forme indéterminée en appliquant directement les règles d’opérations ?Exercice 4 sur 10
QCMRappel : pour lever une forme indéterminée ∞ − ∞ avec un polynôme, on factorise par le terme de plus haut degré.
Quelle est la limite de un = n² − 5n ?
Aide : pour n ≥ 1, n² − 5n = n²(1 − ).Exercice 5 sur 10
CalculRappel : pour un quotient de polynômes en n, on factorise le numérateur et le dénominateur par leur terme de plus haut degré.
Détermine la limite de un = .Exercice 6 sur 10
CalculDétermine la limite de la suite définie pour n ∈ ℕ par un = 10 × 0,9ⁿ + 1.
Aide : commence par la limite de 0,9ⁿ.Exercice 7 sur 10
Texte à trousRappel (théorème des gendarmes) : si vn ≤ un ≤ wn et si (vn) et (wn) ont la même limite ℓ, alors (un) tend vers ℓ.
On étudie un = pour n ≥ 1. Comme −1 ≤ (−1)ⁿ ≤ 1, on a − ≤ un ≤ . Complète.Exercice 8 sur 10
AssociationRappel : une démonstration par récurrence comporte trois étapes. Associe chaque étape à son contenu.
Exercice 9 sur 10
Texte à trousLa suite (un) est définie par u0 = 1 et un+1 = 0,5un + 2. On démontre par récurrence que un ≤ 4 pour tout n ∈ ℕ.
Initialisation : u0 = 1 ≤ 4.
Hérédité : on suppose un ≤ 4 pour un entier n fixé. Complète (nombres uniquement).Exercice 10 sur 10
CalculOn reprend u0 = 1 et un+1 = 0,5un + 2. On admet que (un) est croissante ; on a montré qu’elle est majorée par 4. Elle converge donc vers un réel ℓ, qui vérifie ℓ = 0,5ℓ + 2.
Calcule ℓ.