Que deviennent les termes d’une suite quand n devient très grand ? Ils peuvent se rapprocher d’un nombre, grandir sans limite, ou n’avoir aucun comportement régulier. Ce chapitre donne les définitions précises et les outils pour calculer ou justifier une limite.
Une question sur ce cours ?
ULU, le tuteur d’ULUMINE, t’aide à partir de ce cours.
Objectifs
- Connaître les définitions de limite finie et de limite infinie
- Calculer des limites grâce aux opérations et lever des formes indéterminées
- Utiliser les théorèmes de comparaison et des gendarmes
- Connaître la limite de qⁿ selon la valeur de q
- Exploiter le théorème de convergence des suites monotones
1. Définitions
Limite finie : La suite (un) converge vers le réel ℓ si tout intervalle ouvert contenant ℓ contient tous les termes un à partir d’un certain rang. On note lim un = ℓ. La limite, si elle existe, est unique.
Limite +∞ : La suite (un) tend vers +∞ si tout intervalle ]A ; +∞[ contient tous les termes un à partir d’un certain rang.
Une suite qui ne converge pas est dite divergente : soit elle tend vers +∞ ou −∞, soit elle n’a pas de limite (exemple : un = (−1)ⁿ).
- lim n = lim n² = lim √n = +∞
- lim = lim = lim = 0
2. Opérations et formes indéterminées
Les limites de sommes, produits et quotients se déduisent en général des limites de chaque terme. Quatre situations ne permettent pas de conclure directement : ce sont les formes indéterminées.
| Forme indéterminée | Exemple de méthode |
|---|---|
| ∞ − ∞ | Factoriser par le terme dominant |
| 0 × ∞ | Transformer l’écriture |
| Factoriser numérateur et dénominateur par le terme de plus haut degré | |
| Simplifier ou factoriser |
Limite de un =
- Forme : on factorise par n².
- Pour n ≥ 1 : un = n²(3 − 1/n) ÷ [n²(1 + 1/n²)] = (3 − 1/n) ÷ (1 + 1/n²)
- Or → 0 et → 0.
lim un = 3
3. Comparaison et encadrement
- Comparaison : si un ≥ vn à partir d’un certain rang et lim vn = +∞, alors lim un = +∞.
- Si un ≤ vn à partir d’un certain rang et lim vn = −∞, alors lim un = −∞.
- Théorème des gendarmes : si vn ≤ un ≤ wn à partir d’un certain rang et si (vn) et (wn) convergent vers le même réel ℓ, alors (un) converge vers ℓ.
Limite de un = pour n ≥ 1
- −1 ≤ cos(n) ≤ 1, donc − ≤ un ≤ .
- Les deux suites encadrantes tendent vers 0.
Par le théorème des gendarmes, lim un = 0.
4. Suites géométriques
| Valeur de q | Limite de qⁿ |
|---|---|
| q > 1 | +∞ |
| q = 1 | 1 |
| −1 < q < 1 | 0 |
| q ≤ −1 | pas de limite |
5. Suites monotones
- Toute suite croissante et majorée converge (et toute suite décroissante et minorée converge).
- Une suite croissante non majorée tend vers +∞.
- Si (un) est croissante et converge vers ℓ, alors un ≤ ℓ pour tout n.
À retenir
- Une suite converge (limite finie), tend vers ±∞ ou n’a pas de limite.
- Formes indéterminées : ∞ − ∞, 0 × ∞, , .
- Gendarmes : un encadrement par deux suites de même limite ℓ donne la limite ℓ.
- qⁿ → 0 si −1 < q < 1 ; qⁿ → +∞ si q > 1.
- Croissante et majorée ⟹ convergente.
Et maintenant, à toi !
Vérifie que tu as compris avec les exercices, puis révise avec la fiche.