Exercice 1 sur 8
QCMQuelle est la limite de (0,8)ⁿ quand n tend vers +∞ ?
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Exercices : limites de suites
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Limites de suites — S’entraîner
Feuille d’exercices
Prénom : ……………………………Date : ……………………Score : ……… / 8
Justifie toujours ta réponse par un théorème ou une opération sur les limites.
Exercice 1 — Coche la bonne réponse.
Quelle est la limite de (0,8)ⁿ quand n tend vers +∞ ?
- +∞
- 1
- 0
- 0,8
Exercice 2
Calcule la limite de un = quand n tend vers +∞.
Écris tes calculs :
Réponse : ………………
Exercice 3 — Coche « Vrai » ou « Faux ».
Toute suite croissante tend vers +∞.
VraiFaux
Exercice 4
Calcule la limite de un = 5 − .
Écris tes calculs :
Réponse : ………………
Exercice 5 — Coche la bonne réponse.
Laquelle de ces situations est une forme indéterminée ?
- (+∞) + (+∞)
- (+∞) − (+∞)
- (+∞) × (+∞)
Exercice 6 — Coche la bonne réponse.
Pour n ≥ 1, on pose un = . Quelle est la limite de (un) ?
- Elle n’existe pas
- 0
- 1
- −1
Exercice 7
Soit Sn = 1 + + + … + ()ⁿ. Calcule la limite de Sn.
Écris tes calculs :
Réponse : ………………
Exercice 8
Soit u₀ = 0 et un+1 = 0,5un + 1. On admet que 0 ≤ un ≤ un+1 ≤ 2 pour tout n. Justifie que (un) converge, puis détermine sa limite ℓ en admettant qu’elle vérifie ℓ = 0,5ℓ + 1.
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Limites de suites — S’entraîner
Corrigé détaillé — pour les parents et les enseignants
Exercice 1
Réponse : 0
−1 < 0,8 < 1, donc (0,8)ⁿ tend vers 0.
Exercice 2
Réponse : 3
Forme : on factorise par le terme de plus haut degré, n².
- un = (3 − 1/n) ÷ (1 + 1/n²)
- Le numérateur tend vers 3, le dénominateur vers 1.
- Limite : 3
Exercice 3
Réponse : Faux
Contre-exemple : un = 1 − est croissante mais majorée par 1, et elle converge vers 1. Seules les suites croissantes non majorées tendent vers +∞.
Exercice 4
Réponse : 5
n + 1 → +∞, donc → 0 et un → 5 − 0 = 5.
Exercice 5
Réponse : (+∞) − (+∞)
(+∞) − (+∞) est indéterminée : n² − n tend vers +∞, mais (n + 1) − n tend vers 1. Les autres cas donnent +∞, +∞ et 0.
Exercice 6
Réponse : 0
− ≤ un ≤ et les deux suites encadrantes tendent vers 0 : par le théorème des gendarmes, un → 0.
Exercice 7
Réponse : 2
Somme des termes d’une suite géométrique de raison q = .
- Sn = = 2(1 − 0,5n+1)
- ()n+1 → 0 car −1 < < 1
- lim Sn = 2
Exercice 8
Exemple de réponse : La suite est croissante (un ≤ un+1) et majorée par 2 : d’après le théorème de convergence monotone, elle converge vers un réel ℓ.
La fonction f : x ↦ 0,5x + 1 est continue, donc ℓ = f(ℓ) : ℓ = 0,5ℓ + 1, soit 0,5ℓ = 1, donc ℓ = 2.Le théorème de convergence monotone donne l’existence de la limite ; l’équation ℓ = f(ℓ) (justifiée par la continuité de f) donne sa valeur.
- Tu as cité « croissante et majorée ⟹ convergente ».
- Tu as résolu l’équation ℓ = 0,5ℓ + 1.
Justifie toujours ta réponse par un théorème ou une opération sur les limites.
Exercices corrigés : 0 / 8
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Exercice 2 sur 8
CalculCalcule la limite de un = quand n tend vers +∞.
Aide d’ULU pour cet exerciceExercice 3 sur 8
Vrai ou fauxToute suite croissante tend vers +∞.
Aide d’ULU pour cet exerciceExercice 4 sur 8
CalculCalcule la limite de un = 5 − .
Aide d’ULU pour cet exerciceExercice 5 sur 8
QCMLaquelle de ces situations est une forme indéterminée ?
Aide d’ULU pour cet exerciceExercice 6 sur 8
QCMPour n ≥ 1, on pose un = . Quelle est la limite de (un) ?
Aide d’ULU pour cet exerciceExercice 7 sur 8
CalculSoit Sn = 1 + + + … + ()ⁿ. Calcule la limite de Sn.
Aide d’ULU pour cet exerciceExercice 8 sur 8
Question ouverteSoit u₀ = 0 et un+1 = 0,5un + 1. On admet que 0 ≤ un ≤ un+1 ≤ 2 pour tout n. Justifie que (un) converge, puis détermine sa limite ℓ en admettant qu’elle vérifie ℓ = 0,5ℓ + 1.
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