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Le raisonnement par récurrence
Pour prouver P(n) pour tout n ≥ n₀ : initialisation + hérédité ⟹ conclusion.
Les trois étapes
- Initialisation : vérifier P(n₀).
- Hérédité : pour n ≥ n₀ fixé, P(n) ⟹ P(n + 1).
- Conclusion : P(n) vraie pour tout n ≥ n₀.
Usages classiques
- Formules de sommes : 1 + 2 + … + n = .
- Suites : bornes, monotonie, formule explicite.
- Divisibilité, inégalités (Bernoulli : (1 + a)ⁿ ≥ 1 + na pour a > 0).
Pièges à éviter
- Oublier l’initialisation.
- Supposer P(n) vraie « pour tout n » dans l’hérédité.
- Ne pas montrer où l’hypothèse de récurrence est utilisée.