La fonction logarithme népérien, notée ln, est la fonction réciproque de la fonction exponentielle. Elle transforme les produits en sommes, ce qui en fait un outil essentiel pour résoudre des équations.
Une question sur ce cours ?
ULU, le tuteur d’ULUMINE, t’aide à partir de ce cours.
Objectifs
- Connaître la définition de ln et ses valeurs remarquables
- Utiliser les propriétés algébriques
- Dériver des fonctions contenant ln
- Connaître les limites et les croissances comparées
- Résoudre des équations et inéquations
1. Définition
Logarithme népérien : Pour tout réel x > 0, ln(x) est l’unique réel y tel que eʸ = x.
Pour x > 0 : y = ln(x) ⟺ x = eʸ
- ln(1) = 0 et ln(e) = 1
- Pour tout réel x : ln(eˣ) = x
- Pour tout réel x > 0 : eln(x) = x
2. Propriétés algébriques
| Propriété | Formule |
|---|---|
| Produit | ln(ab) = ln(a) + ln(b) |
| Quotient | ln() = ln(a) − ln(b) |
| Inverse | ln() = −ln(a) |
| Puissance | ln(aⁿ) = n ln(a) |
| Racine carrée | ln(√a) = ½ ln(a) |
Exemple
- ln(6) = ln(2 × 3) = ln(2) + ln(3)
- ln(8) = ln(2³) = 3 ln(2)
3. Étude de la fonction
(ln x)′ =
- 1/x > 0 sur ]0 ; +∞[ : ln est strictement croissante.
- Si u est dérivable et strictement positive sur un intervalle I, alors ln(u) est dérivable sur I et (ln u)′ = .
- lim ln(x) = −∞ quand x → 0⁺ et lim ln(x) = +∞ quand x → +∞.
4. Résoudre des équations et inéquations
- Pour a > 0 et b > 0 : ln(a) = ln(b) ⟺ a = b, et ln(a) < ln(b) ⟺ a < b.
- Pour k > 0 : eˣ = k ⟺ x = ln(k).
- Pour tout réel k : ln(x) = k ⟺ x = eᵏ.
Résoudre 3eˣ − 6 = 0
- 3eˣ = 6, donc eˣ = 2
- x = ln(2)
S = {ln 2}
À retenir
- ln est définie sur ]0 ; +∞[, ln(1) = 0, ln(e) = 1.
- ln(ab) = ln a + ln b ; ln(aⁿ) = n ln a.
- (ln x)′ = 1/x ; (ln u)′ = u′/u.
- ln est strictement croissante : elle conserve l’ordre.
- lim ln(x)/x = 0 en +∞.
Et maintenant, à toi !
Vérifie que tu as compris avec les exercices, puis révise avec la fiche.