Exercices : la fonction logarithme népérien

Exercice 1

Réponse : 3

Pour tout réel x, ln(eˣ) = x, car ln et exp sont réciproques l’une de l’autre. Donc ln(e³) = 3.

Exercice 2

Réponse : ln(2) + ln(3)

6 = 2 × 3 et le logarithme transforme les produits en sommes : ln(6) = ln(2) + ln(3).

1. ln(4) + ln(2) = ln(8), et 2 ln(3) = ln(9) : ces deux réponses sont fausses.

Exercice 3

Réponse : 1,61

5 > 0, donc eˣ = 5 ⟺ x = ln(5).

1. x = ln(5) ≈ 1,6094
2. Arrondi au centième : x ≈ 1,61

Exercice 4

Réponse : 2x / (x² + 1)

On pose u(x) = x² + 1, strictement positive sur ℝ. Alors (ln u)′ = u′ / u.

1. u′(x) = 2x
2. f′(x) = 2x / (x² + 1)

Exercice 5

Réponse : Faux

ln est définie uniquement sur ]0 ; +∞[ : il n’existe aucun réel y tel que eʸ soit négatif ou nul.

Exercice 6

Réponse : 7,4

ln(x) = k ⟺ x = eᵏ.

1. x = e² ≈ 7,389
2. Arrondi au dixième : x ≈ 7,4

Exercice 7

Réponse : 0

C’est une limite de croissances comparées : x tend vers +∞ beaucoup plus vite que ln(x), donc le quotient tend vers 0.

Exercice 8

Exemple de réponse : On a 1 = ln(e). L’inéquation s’écrit ln(x) > ln(e).
La fonction ln est strictement croissante sur ]0 ; +∞[, donc ln(x) > ln(e) ⟺ x > e.
S = ]e ; +∞[

Pour résoudre une inéquation avec ln, on écrit les deux membres sous forme de ln, puis on utilise la stricte croissance.

• Tu as écrit 1 sous la forme ln(e).
• Tu as justifié avec la stricte croissance de ln.
• Tu as donné l’ensemble des solutions sous forme d’intervalle.