Étudier le comportement d’une fonction aux bornes de son ensemble de définition permet de compléter un tableau de variations et de repérer les asymptotes de sa courbe. Les règles sont proches de celles des suites, avec en plus la composition et les croissances comparées.
Une question sur ce cours ?
ULU, le tuteur d’ULUMINE, t’aide à partir de ce cours.
Objectifs
- Déterminer une limite finie ou infinie en l’infini ou en un réel
- Interpréter une limite en termes d’asymptote
- Calculer des limites par opérations et par composition
- Utiliser les croissances comparées de l’exponentielle et des puissances
- Utiliser les théorèmes de comparaison et d’encadrement
1. Limites et asymptotes
Asymptote horizontale : Si lim f(x) = ℓ quand x → +∞ (ou −∞), la droite d’équation y = ℓ est asymptote horizontale à la courbe de f en +∞ (ou −∞).
Asymptote verticale : Si f(x) tend vers +∞ ou −∞ quand x tend vers le réel a, la droite d’équation x = a est asymptote verticale à la courbe de f.
| Fonction | En +∞ | En 0⁺ | En 0⁻ |
|---|---|---|---|
| 0 | +∞ | −∞ | |
| 0 | +∞ | +∞ | |
| √x | +∞ | 0 | non définie |
| eˣ | +∞ (et 0 en −∞) | 1 | 1 |
f(x) = au voisinage de 2
- Quand x → 2 avec x > 2, x − 2 → 0⁺ donc f(x) → +∞.
- Quand x → 2 avec x < 2, x − 2 → 0⁻ donc f(x) → −∞.
La droite x = 2 est asymptote verticale.
2. Opérations et composition
Les règles de somme, produit et quotient sont les mêmes que pour les suites, avec les mêmes formes indéterminées : ∞ − ∞, 0 × ∞, et .
Limite de e1/x en +∞
- Quand x → +∞, X = → 0.
- Quand X → 0, eX → e⁰ = 1.
lim e1/x = 1 en +∞
3. Croissances comparées
- Pour tout entier n ≥ 1 : lim = +∞ quand x → +∞.
- Pour tout entier n ≥ 1 : lim xⁿeˣ = 0 quand x → −∞.
- En particulier : lim = +∞ en +∞ et lim xeˣ = 0 en −∞.
Limite de eˣ − x en +∞ (forme ∞ − ∞)
- eˣ − x = x( − 1)
- → +∞ donc − 1 → +∞, et x → +∞.
Par produit, lim (eˣ − x) = +∞.
4. Comparaison et encadrement
- Si f(x) ≥ g(x) pour x assez grand et lim g = +∞ en +∞, alors lim f = +∞ en +∞.
- Si g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) pour x assez grand et si g et h ont la même limite ℓ en +∞, alors lim f = ℓ en +∞ (théorème des gendarmes).
Limite de en +∞
- Pour x > 0 : − ≤ ≤ .
- Les deux fonctions encadrantes tendent vers 0.
lim = 0 en +∞.
À retenir
- lim f = ℓ en ±∞ ⟹ asymptote horizontale y = ℓ.
- lim f = ±∞ en a ⟹ asymptote verticale x = a.
- Composée : on enchaîne les limites « de l’intérieur vers l’extérieur ».
- Croissances comparées : → +∞ en +∞ ; xⁿeˣ → 0 en −∞.
Et maintenant, à toi !
Vérifie que tu as compris avec les exercices, puis révise avec la fiche.