Exercice 1 sur 10
CalculOn sait que P(A) = 0,35. Calcule P(Ā).
Aide : Ā est l’événement contraire de A, et P(Ā) = 1 − P(A).
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Probabilités et statistiques
10 exercices progressifs, des bases jusqu’au niveau attendu, avec une correction détaillée.
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Retravailler : Probabilités et statistiques
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Prénom : ……………………………Date : ……………………Score : ……… / 10
Exercice 1
On sait que P(A) = 0,35. Calcule P(Ā).
Aide : Ā est l’événement contraire de A, et P(Ā) = 1 − P(A).Écris tes calculs :
Réponse : ………………
Exercice 2 — Coche « Vrai » ou « Faux ».
Dans un arbre pondéré, la somme des probabilités portées par les branches issues d’un même nœud vaut 1.
VraiFaux
Exercice 3
On donne P(A) = 0,6 et PA(B) = 0,5. Calcule P(A ∩ B).
Aide : on multiplie les probabilités le long du chemin A puis B.Écris tes calculs :
Réponse : ………………
Exercice 4
Dans un lycée de 200 élèves, 80 sont internes ; parmi les internes, 30 pratiquent un sport en club. On choisit au hasard un élève interne. Quelle est la probabilité qu’il pratique un sport en club ?
Aide : « parmi les internes » : l’univers est réduit aux 80 internes.Écris tes calculs :
Réponse : ………………
Exercice 5
On donne P(A) = 0,7, PA(B) = 0,2 et PĀ(B) = 0,6. Calcule P(B).
Aide : P(B) = P(A ∩ B) + P(Ā ∩ B) (on additionne les chemins qui mènent à B).Écris tes calculs :
Réponse : ………………
Exercice 6
On donne P(A) = 0,3, PA(B) = 0,8 et PĀ(B) = 0,2. Calcule PB(A), arrondie au centième.
Aide : PB(A) = ; calcule d’abord P(B) avec les probabilités totales. Calculatrice autorisée.Écris tes calculs :
Réponse : ………………
Exercice 7 — Coche « Vrai » ou « Faux ».
On a P(A) = 0,3, P(B) = 0,5 et P(A ∩ B) = 0,2. Les événements A et B sont indépendants.
VraiFaux
Exercice 8
Une variable aléatoire X prend les valeurs 0, 1 et 2 avec les probabilités P(X = 0) = 0,2, P(X = 1) = 0,5 et P(X = 2) = p. Calcule p.
Aide : la somme des probabilités d’une loi vaut 1.Écris tes calculs :
Réponse : ………………
Exercice 9
On reprend la loi : P(X = 0) = 0,2, P(X = 1) = 0,5, P(X = 2) = 0,3. Calcule E(X).
Aide : E(X) = Σ xᵢpᵢ.Écris tes calculs :
Réponse : ………………
Exercice 10
Toujours avec la même loi (E(X) = 1,1), calcule la variance V(X).
Aide : V(X) = E(X²) − (E(X))², avec E(X²) = Σ xᵢ²pᵢ.Écris tes calculs :
Réponse : ………………
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Retravailler : Probabilités et statistiques
Corrigé détaillé — pour les parents et les enseignants
Exercice 1
Réponse : 0,65
A et Ā se partagent toutes les issues, donc P(A) + P(Ā) = 1.
- P(Ā) = 1 − 0,35 = 0,65
Exercice 2
Réponse : Vrai
Les branches issues d’un même nœud décrivent toutes les possibilités à cette étape (par exemple B et B̄) : leurs probabilités se complètent pour faire 1. C’est la « loi des nœuds », très utile pour compléter un arbre.
Exercice 3
Réponse : 0,3
La probabilité d’un chemin de l’arbre est le produit des probabilités de ses branches : P(A ∩ B) = P(A) × PA(B).
- P(A ∩ B) = 0,6 × 0,5 = 0,3
Exercice 4
Réponse : 0,375
On cherche une probabilité conditionnelle PI(S) : on ne s’intéresse qu’aux internes. Le nombre total d’élèves (200) ne sert pas ici.
- PI(S) =
- = = 0,375
Exercice 5
Réponse : 0,32
C’est la formule des probabilités totales : deux chemins de l’arbre mènent à B, on calcule chacun puis on additionne.
- P(Ā) = 1 − 0,7 = 0,3
- P(A ∩ B) = 0,7 × 0,2 = 0,14
- P(Ā ∩ B) = 0,3 × 0,6 = 0,18
- P(B) = 0,14 + 0,18 = 0,32
Exercice 6
Réponse : 0,63
On « remonte » l’arbre : on connaît PA(B) et on cherche PB(A). On revient à la définition de la probabilité conditionnelle.
- P(A ∩ B) = 0,3 × 0,8 = 0,24
- P(Ā ∩ B) = 0,7 × 0,2 = 0,14
- P(B) = 0,24 + 0,14 = 0,38
- PB(A) = ≈ 0,63
Exercice 7
Réponse : Faux
A et B sont indépendants si et seulement si P(A ∩ B) = P(A) × P(B).
- P(A) × P(B) = 0,3 × 0,5 = 0,15
- 0,15 ≠ 0,2 = P(A ∩ B) : A et B ne sont pas indépendants.
Exercice 8
Réponse : 0,3
Les valeurs 0, 1 et 2 sont toutes les valeurs possibles de X : leurs probabilités ont pour somme 1.
- 0,2 + 0,5 + p = 1
- p = 1 − 0,7 = 0,3
Exercice 9
Réponse : 1,1
On multiplie chaque valeur par sa probabilité, puis on additionne. E(X) est la valeur moyenne de X sur un grand nombre de répétitions.
- E(X) = 0 × 0,2 + 1 × 0,5 + 2 × 0,3
- = 0 + 0,5 + 0,6 = 1,1
Exercice 10
Réponse : 0,49
La variance mesure la dispersion des valeurs autour de l’espérance. La formule de König-Huygens, V(X) = E(X²) − (E(X))², évite de calculer les écarts un par un.
- E(X²) = 0² × 0,2 + 1² × 0,5 + 2² × 0,3 = 0 + 0,5 + 1,2 = 1,7
- (E(X))² = 1,1² = 1,21
- V(X) = 1,7 − 1,21 = 0,49
- Écart type : σ(X) = √0,49 = 0,7
Ces exercices reprennent les probabilités conditionnelles (tableau, arbre pondéré, probabilités totales, indépendance) puis les variables aléatoires (loi, espérance, variance). Un conseil : dessine systématiquement l’arbre au brouillon, avec les probabilités sur chaque branche.
Exercices corrigés : 0 / 10
Exercice 2 sur 10
Vrai ou fauxDans un arbre pondéré, la somme des probabilités portées par les branches issues d’un même nœud vaut 1.
Exercice 3 sur 10
CalculOn donne P(A) = 0,6 et PA(B) = 0,5. Calcule P(A ∩ B).
Aide : on multiplie les probabilités le long du chemin A puis B.Exercice 4 sur 10
CalculDans un lycée de 200 élèves, 80 sont internes ; parmi les internes, 30 pratiquent un sport en club. On choisit au hasard un élève interne. Quelle est la probabilité qu’il pratique un sport en club ?
Aide : « parmi les internes » : l’univers est réduit aux 80 internes.Exercice 5 sur 10
CalculOn donne P(A) = 0,7, PA(B) = 0,2 et PĀ(B) = 0,6. Calcule P(B).
Aide : P(B) = P(A ∩ B) + P(Ā ∩ B) (on additionne les chemins qui mènent à B).Exercice 6 sur 10
CalculOn donne P(A) = 0,3, PA(B) = 0,8 et PĀ(B) = 0,2. Calcule PB(A), arrondie au centième.
Aide : PB(A) = ; calcule d’abord P(B) avec les probabilités totales. Calculatrice autorisée.Exercice 7 sur 10
Vrai ou fauxOn a P(A) = 0,3, P(B) = 0,5 et P(A ∩ B) = 0,2. Les événements A et B sont indépendants.
Exercice 8 sur 10
CalculUne variable aléatoire X prend les valeurs 0, 1 et 2 avec les probabilités P(X = 0) = 0,2, P(X = 1) = 0,5 et P(X = 2) = p. Calcule p.
Aide : la somme des probabilités d’une loi vaut 1.Exercice 9 sur 10
CalculOn reprend la loi : P(X = 0) = 0,2, P(X = 1) = 0,5, P(X = 2) = 0,3. Calcule E(X).
Aide : E(X) = Σ xᵢpᵢ.Exercice 10 sur 10
CalculToujours avec la même loi (E(X) = 1,1), calcule la variance V(X).
Aide : V(X) = E(X²) − (E(X))², avec E(X²) = Σ xᵢ²pᵢ.