Une variable aléatoire associe un nombre à chaque issue d’une expérience aléatoire : un gain, un nombre de succès, une durée… Sa loi de probabilité décrit les valeurs possibles et leurs probabilités ; l’espérance donne la valeur moyenne attendue et l’écart type mesure la dispersion.
Une question sur ce cours ?
ULU, le tuteur d’ULUMINE, t’aide à partir de ce cours.
Objectifs
- Définir une variable aléatoire et déterminer sa loi de probabilité
- Calculer l’espérance, la variance et l’écart type
- Interpréter l’espérance comme une moyenne sur un grand nombre de répétitions
- Utiliser l’espérance pour décider si un jeu est équitable
1. Variable aléatoire et loi de probabilité
Variable aléatoire réelle : Sur un univers Ω fini, une variable aléatoire X est une fonction qui associe un nombre réel à chaque issue de Ω. L’événement « X prend la valeur a » se note {X = a} ; on note aussi {X ≤ a}, {X > a}…
Loi de probabilité : Donner la loi de probabilité de X, c’est donner les valeurs x₁, …, xₙ prises par X et les probabilités pᵢ = P(X = xᵢ), souvent dans un tableau. On a toujours p₁ + p₂ + … + pₙ = 1.
Un jeu de dé
On lance un dé équilibré : on gagne 10 € pour un 6, 2 € pour un 4 ou un 5, et on perd 3 € sinon. X est le gain algébrique.
- Valeurs : −3, 2, 10
- P(X = −3) = = ; P(X = 2) = = ; P(X = 10) =
- Vérification : + + = 1
2. Espérance
E(X) = x₁p₁ + x₂p₂ + … + xₙpₙ
L’espérance est la moyenne des valeurs pondérées par leurs probabilités. Si l’on répète l’expérience un grand nombre de fois, la moyenne des valeurs obtenues est proche de E(X).
Espérance du jeu de dé
- E(X) = −3 × + 2 × + 10 ×
- E(X) = − + + = ≈ 0,83
En moyenne, sur un grand nombre de parties, on gagne environ 0,83 € par partie.
3. Variance et écart type
V(X) = p₁(x₁ − E(X))² + … + pₙ(xₙ − E(X))²
σ(X) = √V(X)
X prend les valeurs 0, 1, 2 avec les probabilités 0,2 ; 0,5 ; 0,3
- E(X) = 0 × 0,2 + 1 × 0,5 + 2 × 0,3 = 1,1
- E(X²) = 0 + 1 × 0,5 + 4 × 0,3 = 1,7
- V(X) = 1,7 − 1,1² = 1,7 − 1,21 = 0,49
σ(X) = √0,49 = 0,7
4. Simuler une variable aléatoire
En Python, le module random fournit random(), qui renvoie un nombre aléatoire de [0 ; 1[, et randint(a, b), qui renvoie un entier aléatoire entre a et b inclus. On peut simuler n répétitions et calculer la moyenne des valeurs obtenues : pour n grand, elle est proche de l’espérance.
Exemple : X vaut 1 si le dé donne 6 et 0 sinon, donc E(X) = ≈ 0,167.
from random import randint
L = []
for k in range(10000):
if randint(1, 6) == 6:
L.append(1)
else:
L.append(0)
print(sum(L) / len(L))À retenir
- La loi de X : valeurs xᵢ et probabilités pᵢ, de somme 1.
- E(X) = Σ xᵢpᵢ : valeur moyenne sur un grand nombre de répétitions.
- V(X) = Σ pᵢ(xᵢ − E(X))² = E(X²) − (E(X))² ; σ(X) = √V(X).
- Gain algébrique : jeu équitable ⟺ E(X) = 0.
Et maintenant, à toi !
Vérifie que tu as compris avec les exercices, puis révise avec la fiche.