Deux familles de suites servent à modéliser des évolutions très courantes : les suites arithmétiques (on ajoute toujours la même quantité) et les suites géométriques (on multiplie toujours par le même nombre). On sait calculer directement n’importe quel terme et la somme de termes consécutifs.
Une question sur ce cours ?
ULU, le tuteur d’ULUMINE, t’aide à partir de ce cours.
Objectifs
- Reconnaître une suite arithmétique ou géométrique et donner sa raison
- Exprimer le terme général en fonction de n
- Déterminer le sens de variation
- Calculer 1 + 2 + … + n et 1 + q + … + qⁿ
- Modéliser une évolution à accroissement constant ou à taux constant
1. Suites arithmétiques
Suite arithmétique : Une suite (uₙ) est arithmétique de raison r si, pour tout n ∈ ℕ, uₙ₊₁ = uₙ + r. Autrement dit, la différence uₙ₊₁ − uₙ est constante et égale à r.
uₙ = u₀ + nr et, plus généralement, uₙ = uₚ + (n − p)r
- r > 0 : la suite est croissante ; r < 0 : décroissante ; r = 0 : constante.
- Les points (n ; uₙ) sont alignés : une suite arithmétique est la version « discrète » d’une fonction affine x ↦ u₀ + rx.
- Elle modélise une évolution à accroissements constants (même quantité ajoutée à chaque étape).
Trouver la raison à partir de deux termes
(uₙ) est arithmétique avec u₃ = 11 et u₇ = 23.
- u₇ = u₃ + (7 − 3)r, donc 23 = 11 + 4r
- 4r = 12, donc r = 3
- u₀ = u₃ − 3r = 11 − 9 = 2
uₙ = 2 + 3n
2. Suites géométriques
Suite géométrique : Une suite (uₙ) est géométrique de raison q si, pour tout n ∈ ℕ, uₙ₊₁ = q × uₙ.
uₙ = u₀ × qⁿ et, plus généralement, uₙ = uₚ × qⁿ⁻ᵖ
- Avec u₀ > 0 : si q > 1, la suite est croissante ; si 0 < q < 1, elle est décroissante ; si q = 1, elle est constante.
- Avec u₀ < 0, les sens de variation sont inversés. Si q < 0, les termes changent de signe à chaque rang : la suite n’est pas monotone.
- Elle modélise une évolution à taux constant : augmenter de t % revient à multiplier par 1 + , diminuer de t % à multiplier par 1 − .
Population en hausse de 3 % par an
Une ville compte 2 000 habitants en 2025 et sa population augmente de 3 % par an. On note pₙ la population en 2025 + n.
- Augmenter de 3 %, c’est multiplier par 1,03 : pₙ₊₁ = 1,03 × pₙ
- (pₙ) est géométrique de raison 1,03 et p₀ = 2 000
- p₅ = 2 000 × 1,03⁵ ≈ 2 318,5
Environ 2 319 habitants en 2030 selon ce modèle.
3. Sommes de termes
1 + 2 + 3 + … + n =
1 + q + q² + … + qⁿ =
Somme de termes d’une suite géométrique
Calculer S = 3 + 6 + 12 + … + 3 × 2⁹.
- S = 3 × (1 + 2 + 2² + … + 2⁹)
- 1 + 2 + … + 2⁹ = = 2¹⁰ − 1 = 1 023
S = 3 × 1 023 = 3 069
4. Reconnaître le type d’une suite
| Pour montrer que (uₙ) est… | on montre que… |
|---|---|
| arithmétique | uₙ₊₁ − uₙ est une constante r (indépendante de n) |
| géométrique | uₙ₊₁ = q × uₙ pour tout n (ou, si les termes ne s’annulent pas, est constant) |
| ni l’une ni l’autre | un contre-exemple suffit : par exemple u₁ − u₀ ≠ u₂ − u₁ |
À retenir
- Arithmétique : uₙ₊₁ = uₙ + r et uₙ = u₀ + nr.
- Géométrique : uₙ₊₁ = q × uₙ et uₙ = u₀ × qⁿ.
- 1 + 2 + … + n = ; 1 + q + … + qⁿ = si q ≠ 1.
- Évolution de t % : coefficient multiplicateur 1 + (hausse) ou 1 − (baisse).
Et maintenant, à toi !
Vérifie que tu as compris avec les exercices, puis révise avec la fiche.