Un polynôme du second degré (ou trinôme) est une fonction de la forme f(x) = ax² + bx + c, avec a ≠ 0. Le discriminant permet de résoudre toutes les équations du second degré.
Une question sur ce cours ?
ULU, le tuteur d’ULUMINE, t’aide à partir de ce cours.
Objectifs
- Écrire un trinôme sous forme canonique
- Calculer le discriminant et résoudre ax² + bx + c = 0
- Factoriser un trinôme
- Étudier le signe d’un trinôme et décrire sa parabole
1. Forme canonique et parabole
Tout trinôme f(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0) peut s’écrire sous forme canonique :
f(x) = a(x − α)² + β
- La courbe de f est une parabole de sommet S(α ; β), symétrique par rapport à la droite x = α.
- Si a > 0, la parabole est tournée vers le haut : f admet un minimum β, atteint en α.
- Si a < 0, elle est tournée vers le bas : f admet un maximum β, atteint en α.
2. Le discriminant et les solutions
Δ = b² − 4ac
| Signe de Δ | Solutions de ax² + bx + c = 0 |
|---|---|
| Δ > 0 | deux solutions : x₁ = (−b − √Δ) / (2a) et x₂ = (−b + √Δ) / (2a) |
| Δ = 0 | une seule solution : x₀ = −b / (2a) |
| Δ < 0 | aucune solution réelle |
Résoudre 2x² − 3x − 5 = 0
- a = 2, b = −3, c = −5
- Δ = (−3)² − 4 × 2 × (−5) = 9 + 40 = 49 > 0, √Δ = 7
- x₁ = (3 − 7) / 4 = −1 et x₂ = (3 + 7) / 4 = 2,5
S = {−1 ; 2,5}
3. Factorisation
- Si Δ > 0 : f(x) = a(x − x₁)(x − x₂).
- Si Δ = 0 : f(x) = a(x − x₀)².
- Si Δ < 0 : f ne se factorise pas en produit de facteurs du premier degré.
Exemple
x² − 4x + 3 a pour racines 1 et 3 (Δ = 4), donc x² − 4x + 3 = (x − 1)(x − 3).
4. Signe d’un trinôme
- Δ < 0 : f(x) est toujours du signe de a.
- Δ = 0 : f(x) est du signe de a et s’annule en x₀.
- Δ > 0 : signe de a à l’extérieur de [x₁ ; x₂], signe contraire entre x₁ et x₂.
À retenir
- Δ = b² − 4ac.
- Δ > 0 : deux racines (−b ± √Δ) / (2a) ; Δ = 0 : une racine −b / (2a) ; Δ < 0 : aucune.
- Sommet de la parabole : α = −b / (2a), β = f(α).
- Signe de a à l’extérieur des racines, signe contraire entre elles.
Et maintenant, à toi !
Vérifie que tu as compris avec les exercices, puis révise avec la fiche.