Exercices : le second degré

Exercice 1

Réponse : 49

On identifie a, b et c, puis on applique Δ = b² − 4ac. Attention aux signes !

1. a = 2, b = −3, c = −5
2. Δ = (−3)² − 4 × 2 × (−5)
3. Δ = 9 + 40 = 49

Exercice 2

Réponse : Aucune

On calcule le discriminant.

1. Δ = 2² − 4 × 1 × 5 = 4 − 20 = −16
2. Δ < 0 : l’équation n’a aucune solution réelle.

Exercice 3

Réponse : 3

On calcule Δ puis les deux racines.

1. Δ = (−5)² − 4 × 1 × 6 = 25 − 24 = 1
2. x₁ = (5 − 1) / 2 = 2 et x₂ = (5 + 1) / 2 = 3
3. La plus grande solution est 3.

Exercice 4

Réponse : 2

L’abscisse du sommet est α = −b / (2a).

1. a = 2, b = −8
2. α = −(−8) / (2 × 2) = 8 / 4 = 2

Exercice 5

Réponse : Vrai

Quand a < 0, la parabole est « tournée vers le bas » : f est croissante puis décroissante, et atteint son maximum β en α.

Exercice 6

Réponse : (x − 1)(x − 3)

On cherche les racines, puis on écrit a(x − x₁)(x − x₂).

1. Δ = 16 − 12 = 4, √Δ = 2
2. x₁ = (4 − 2) / 2 = 1 et x₂ = (4 + 2) / 2 = 3
3. a = 1, donc x² − 4x + 3 = (x − 1)(x − 3)

Exercice 7

Exemple de réponse : a = −1, b = 1, c = 6. Δ = 1² − 4 × (−1) × 6 = 1 + 24 = 25 > 0, √Δ = 5.
Racines : x₁ = (−1 − 5) / (−2) = 3 et x₂ = (−1 + 5) / (−2) = −2.
a < 0 : f(x) est négatif à l’extérieur des racines et positif entre elles.
Donc f(x) > 0 sur ]−2 ; 3[, f(x) = 0 en −2 et 3, et f(x) < 0 sur ]−∞ ; −2[ ∪ ]3 ; +∞[.

Méthode : discriminant → racines → règle du signe de a → conclusion (idéalement un tableau de signes).

• Δ correctement calculé (25).
• Racines −2 et 3.
• Utilisation du signe de a.
• Conclusion avec des intervalles.