Exercices : nombre dérivé et tangente

Exercice 1

Réponse : 4

Le taux de variation entre a et b est (f(b) − f(a))(b − a).

1. f(3) = 9 et f(1) = 1
2. (9 − 1)(3 − 1) = 82 = 4

Exercice 2

Réponse : 4

On simplifie le taux de variation entre 2 et 2 + h, puis on fait tendre h vers 0.

1. ((2 + h)² − 4)h = (4 + 4h + h² − 4)h = 4 + h
2. Quand h tend vers 0, 4 + h tend vers 4 : f′(2) = 4.

Exercice 3

Réponse : 2

f′(1) est le coefficient directeur de la tangente en A, donc de la droite (AB).

1. f′(1) = (6 − 2)(3 − 1) = 42 = 2

Exercice 4

Réponse : Vrai

La tangente a pour coefficient directeur f′(a) = 0 : son équation est y = f(a), c’est une droite horizontale.

Exercice 5

Réponse : 3

Pour une fonction affine, le taux de variation est constant, égal au coefficient directeur.

1. (f(5 + h) − f(5))h = (3(5 + h) − 7 − 8)h = 3hh = 3
2. Donc f′(5) = 3.

Exercice 6

Réponse : y = −2x + 5

On applique y = f′(a)(x − a) + f(a) avec a = 1.

1. y = −2(x − 1) + 3
2. y = −2x + 2 + 3 = −2x + 5

Exercice 7

Réponse : y = 6x − 9

On a vu que f′(3) = 6 pour f(x) = x², et f(3) = 9.

1. y = 6(x − 3) + 9
2. y = 6x − 9

Exercice 8

Exemple de réponse : Pour h ≠ 0 (et 2 + h > 0) : f(2 + h) − f(2) = 1(2 + h) − 12 = (2 − (2 + h))(2(2 + h)) = −h(2(2 + h)).
Donc (f(2 + h) − f(2))h = −1(2(2 + h)).
Quand h tend vers 0, 2(2 + h) tend vers 4, donc le taux tend vers −14.
f est dérivable en 2 et f′(2) = −14.

Méthode : écrire f(a + h) − f(a), simplifier le quotient par h, puis faire tendre h vers 0.

• Mise au même dénominateur.
• Simplification par h.
• Passage à la limite justifié.
• Conclusion f′(2) = −14.