Exercices : suites arithmétiques et suites géométriques

Exercice 1

Réponse : 35

On applique la formule du terme général uₙ = u₀ + nr.

1. u₁₀ = 5 + 10 × 3 = 35

Exercice 2

Réponse : 3

Entre le rang 3 et le rang 7, on ajoute 4 fois la raison.

1. u₇ = u₃ + 4r
2. 23 = 11 + 4r, donc 4r = 12 et r = 3

Exercice 3

Réponse : 96

On applique la formule vₙ = v₀ × qⁿ.

1. v₅ = 3 × 2⁵ = 3 × 32 = 96

Exercice 4

Réponse : (wₙ) est géométrique de raison 0,8 et décroissante

wₙ = w₀ × qⁿ avec w₀ = 5 et q = 0,8. Comme w₀ > 0 et 0 < q < 1, la suite est décroissante (chaque terme vaut 80 % du précédent).

Exercice 5

Réponse : Faux

Un contre-exemple suffit : la différence entre deux termes consécutifs n’est pas constante.

1. u₀ = 0, u₁ = 1, u₂ = 4
2. u₁ − u₀ = 1 mais u₂ − u₁ = 3 : la suite n’est pas arithmétique.

Exercice 6

Réponse : 5050

On utilise la formule 1 + 2 + … + n = n(n + 1)2 avec n = 100.

1. S = 100 × 1012 = 5 050

Exercice 7

Réponse : 1023

C’est la somme 1 + q + … + qⁿ avec q = 2 et n = 9.

1. S = (1 − 2¹⁰)(1 − 2) = (1 − 1 024)(−1)
2. S = 1 023

Exercice 8

Réponse : 2319 habitants

Une hausse de 3 % correspond à une multiplication par 1,03 : la population suit une suite géométrique de raison 1,03.

1. p₅ = 2 000 × 1,03⁵
2. 1,03⁵ ≈ 1,159 27
3. p₅ ≈ 2 318,5, soit environ 2 319 habitants

Exercice 9

Réponse : 1 → A · 2 → E · 3 → B · 4 → C · 5 → D

Une baisse de 20 % revient à multiplier par 1 − 0,2 = 0,8 : c’est une suite géométrique de raison 0,8.

Exercice 10

Exemple de réponse : uₙ₊₁ − uₙ = 4 − 2(n + 1) − (4 − 2n) = 4 − 2n − 2 − 4 + 2n = −2.
La différence est constante : (uₙ) est arithmétique de raison r = −2 et de premier terme u₀ = 4.
Comme r < 0, la suite est décroissante.

Pour prouver qu’une suite est arithmétique, on montre que uₙ₊₁ − uₙ ne dépend pas de n.

• Calcul de uₙ₊₁ − uₙ.
• Résultat constant −2.
• u₀ = 4.
• Sens de variation justifié par le signe de r.