Une suite numérique est une liste ordonnée et infinie de nombres : u₀, u₁, u₂… On l’utilise pour modéliser des phénomènes qui évoluent étape par étape (une population chaque année, un capital chaque mois). Ce chapitre présente les façons de définir une suite et d’étudier son évolution.
Une question sur ce cours ?
ULU, le tuteur d’ULUMINE, t’aide à partir de ce cours.
Objectifs
- Calculer des termes d’une suite définie de façon explicite ou par récurrence
- Représenter graphiquement une suite
- Étudier le sens de variation d’une suite
- Conjecturer la limite éventuelle d’une suite
1. Définition et notations
Suite numérique : Une suite u est une fonction qui, à tout entier naturel n, associe un nombre réel noté uₙ (ou u(n)). Le nombre uₙ est le terme de rang n (ou d’indice n). La suite se note (uₙ).
2. Modes de génération d’une suite
- De façon explicite : uₙ = f(n). On calcule directement n’importe quel terme. Exemple : uₙ = 3n − 2 donne u₅ = 13.
- Par récurrence : on donne le premier terme et une relation uₙ₊₁ = f(uₙ). Il faut calculer les termes de proche en proche.
- Par un algorithme ou par un motif géométrique (nombre d’allumettes d’une figure à l’étape n, par exemple).
Suite définie par récurrence
u₀ = 2 et, pour tout n ∈ ℕ, uₙ₊₁ = 2uₙ − 1.
- u₁ = 2 × u₀ − 1 = 2 × 2 − 1 = 3
- u₂ = 2 × 3 − 1 = 5
- u₃ = 2 × 5 − 1 = 9
u₃ = 9
En Python, on calcule u₃ avec une boucle qui applique trois fois la relation de récurrence :
u = 2
for k in range(3):
u = 2*u - 1
print(u)3. Représentation graphique
Dans un repère, on représente une suite par le nuage de points de coordonnées (n ; uₙ). Les points ne sont pas reliés : la suite n’est définie que pour des entiers.
4. Sens de variation
Suite croissante, décroissante : La suite (uₙ) est croissante si, pour tout n, uₙ₊₁ ≥ uₙ ; décroissante si, pour tout n, uₙ₊₁ ≤ uₙ. Elle est monotone si elle est croissante ou décroissante.
| Méthode | Conclusion |
|---|---|
| Étudier le signe de uₙ₊₁ − uₙ | positif : croissante ; négatif : décroissante |
| Si tous les termes sont strictement positifs, comparer à 1 | > 1 : croissante ; < 1 : décroissante |
| Si uₙ = f(n), étudier les variations de f sur [0 ; +∞[ | f croissante ⟹ (uₙ) croissante ; f décroissante ⟹ (uₙ) décroissante |
Étudier uₙ = n² − 6n
- uₙ₊₁ − uₙ = (n + 1)² − 6(n + 1) − n² + 6n = 2n − 5
- 2n − 5 ≥ 0 ⟺ n ≥ 2,5
- Donc uₙ₊₁ ≥ uₙ dès que n ≥ 3.
La suite est croissante à partir du rang 3 (u₂ = −8, u₃ = −9, u₄ = −8).
5. Approche intuitive de la limite
On observe le comportement des termes quand n devient très grand :
- uₙ = (n ≥ 1) : les termes se rapprochent de 0. On dit que la suite tend vers 0.
- uₙ = n² : les termes deviennent aussi grands que l’on veut. La suite tend vers +∞.
- uₙ = (−1)ⁿ : les termes valent alternativement 1 et −1. La suite n’a pas de limite.
À retenir
- uₙ est le terme de rang n ; uₙ₊₁ est le terme suivant.
- Explicite : uₙ = f(n) ; par récurrence : u₀ donné et uₙ₊₁ = f(uₙ).
- Sens de variation : signe de uₙ₊₁ − uₙ (ou comparaison de à 1 si les termes sont positifs).
- La représentation graphique d’une suite est un nuage de points isolés.
Et maintenant, à toi !
Vérifie que tu as compris avec les exercices, puis révise avec la fiche.