Le nombre dérivé mesure la vitesse à laquelle une fonction varie au voisinage d’un point. Géométriquement, c’est la pente de la tangente à la courbe en ce point. Ce chapitre construit cette notion à partir du taux de variation.
Une question sur ce cours ?
ULU, le tuteur d’ULUMINE, t’aide à partir de ce cours.
Objectifs
- Calculer un taux de variation et l’interpréter comme pente d’une sécante
- Calculer un nombre dérivé comme limite d’un taux de variation
- Lire graphiquement un nombre dérivé
- Déterminer une équation de la tangente en un point
1. Taux de variation et sécante
Taux de variation : Soit f une fonction définie sur un intervalle I, a et a + h deux réels de I (h ≠ 0). Le taux de variation de f entre a et a + h est .
C’est le coefficient directeur de la sécante passant par les points A(a ; f(a)) et M(a + h ; f(a + h)) de la courbe de f.
Taux de variation de f(x) = x² entre 1 et 3
- a = 1, h = 2
- = = 4
La sécante passant par (1 ; 1) et (3 ; 9) a pour coefficient directeur 4.
2. Nombre dérivé
Fonction dérivable en a : f est dérivable en a si le taux de variation tend vers un nombre réel ℓ quand h tend vers 0. Ce nombre est le nombre dérivé de f en a, noté f′(a).
f′(a) = limh → 0
Nombre dérivé de f(x) = x² en 3
- = =
- = = 6 + h (pour h ≠ 0)
- Quand h tend vers 0, 6 + h tend vers 6.
f est dérivable en 3 et f′(3) = 6.
3. Tangente à une courbe
Tangente : Si f est dérivable en a, la tangente à la courbe de f au point A(a ; f(a)) est la droite passant par A de coefficient directeur f′(a). Elle est la position limite des sécantes (AM) quand M se rapproche de A.
y = f′(a)(x − a) + f(a)
Tangente à la courbe de f(x) = x² au point d’abscisse 3
- f(3) = 9 et f′(3) = 6
- y = 6(x − 3) + 9
- y = 6x − 18 + 9
T : y = 6x − 9
À retenir
- Taux de variation entre a et a + h : = pente de la sécante.
- f′(a) est la limite de ce taux quand h tend vers 0.
- f′(a) est le coefficient directeur de la tangente au point d’abscisse a.
- Tangente : y = f′(a)(x − a) + f(a).
Et maintenant, à toi !
Vérifie que tu as compris avec les exercices, puis révise avec la fiche.