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Exercices : variables aléatoires : loi, espérance, variance

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Variables aléatoires : loi, espérance, variance — S’entraîner

Feuille d’exercices

Prénom : ……………………………Date : ……………………Score : ……… / 9

Exercice 1
X prend les valeurs 0, 1 et 2 avec P(X = 0) = 0,2 et P(X = 1) = 0,5. Calcule P(X = 2).
Écris tes calculs :
Réponse : ………………
Exercice 2
X prend les valeurs 0, 1, 2 avec les probabilités 0,2 ; 0,5 ; 0,3. Calcule E(X).
Écris tes calculs :
Réponse : ………………
Exercice 3
Avec la même loi (valeurs 0, 1, 2 ; probabilités 0,2 ; 0,5 ; 0,3), calcule V(X).
Écris tes calculs :
Réponse : ………………
Exercice 4
Une variable aléatoire X a une variance V(X) = 0,49. Quel est son écart type σ(X) ?
Écris tes calculs :
Réponse : ………………
Exercice 5
X prend les valeurs 0, 1, 2 avec les probabilités 0,2 ; 0,5 ; 0,3. Calcule P(X ≥ 1).
Écris tes calculs :
Réponse : ………………
Exercice 6
Pour jouer, on paie une mise de m euros, puis on lance un dé équilibré : si l’on obtient 6, on reçoit 12 € ; sinon, on ne reçoit rien. Pour quelle mise m le jeu est-il équitable ?
Écris tes calculs :
Réponse : ……………… €
Exercice 7 — Coche « Vrai » ou « Faux ».
L’espérance d’une variable aléatoire est toujours l’une des valeurs prises par cette variable.
VraiFaux
Exercice 8 — Relie chaque élément de gauche à celui de droite.
Associe chaque notion à sa formule ou à sa propriété.
1. 1. Espérance
2. 2. Variance
3. 3. Écart type
4. 4. Loi de probabilité
5. 5. Jeu équitable
- A. √V(X)
- B. E(X²) − (E(X))²
- C. E(X) = 0
- D. p₁ + … + pₙ = 1
- E. x₁p₁ + … + xₙpₙ
Exercice 9
Une urne contient 3 boules rouges et 2 bleues. On tire successivement deux boules avec remise. X est le nombre de boules rouges obtenues. Détermine la loi de X et son espérance.

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Variables aléatoires : loi, espérance, variance — S’entraîner

Corrigé détaillé — pour les parents et les enseignants

Exercice 1
Réponse : 0,3
La somme des probabilités d’une loi vaut 1.
1. P(X = 2) = 1 − 0,2 − 0,5 = 0,3
Exercice 2
Réponse : 1,1
On additionne les produits valeur × probabilité.
1. E(X) = 0 × 0,2 + 1 × 0,5 + 2 × 0,3 = 0 + 0,5 + 0,6 = 1,1
Exercice 3
Réponse : 0,49
On utilise V(X) = E(X²) − (E(X))², avec E(X) = 1,1.
1. E(X²) = 0² × 0,2 + 1² × 0,5 + 2² × 0,3 = 1,7
2. V(X) = 1,7 − 1,21 = 0,49
Exercice 4
Réponse : 0,7
L’écart type est la racine carrée de la variance.
1. σ(X) = √0,49 = 0,7
Exercice 5
Réponse : 0,8
{X ≥ 1} est la réunion des événements {X = 1} et {X = 2}, ou le contraire de {X = 0}.
1. P(X ≥ 1) = 0,5 + 0,3 = 0,8 = 1 − P(X = 0)
Exercice 6
Réponse : 2 €
On note X le gain algébrique (ce que l’on reçoit moins la mise) et on cherche m tel que E(X) = 0.
1. X = 12 − m avec probabilité ; X = −m avec probabilité
2. E(X) = − = = 2 − m
3. E(X) = 0 ⟺ m = 2
Exercice 7
Réponse : Faux
Contre-exemple : pour un dé équilibré, X prend les valeurs 1 à 6 et E(X) = = 3,5, qui n’est pas une valeur possible.
Exercice 8
Réponse : 1 → E · 2 → B · 3 → A · 4 → D · 5 → C
L’espérance mesure la position moyenne, la variance et l’écart type la dispersion autour de cette moyenne.
Exercice 9
Exemple de réponse : Les tirages sont indépendants, avec P(R) = = 0,6 et P(B) = 0,4.
P(X = 0) = 0,4 × 0,4 = 0,16.
P(X = 1) = P(RB) + P(BR) = 2 × 0,6 × 0,4 = 0,48.
P(X = 2) = 0,6 × 0,6 = 0,36.
Vérification : 0,16 + 0,48 + 0,36 = 1.
E(X) = 0 × 0,16 + 1 × 0,48 + 2 × 0,36 = 1,2.
Un arbre à deux niveaux aide à ne pas oublier qu’il y a deux façons d’obtenir exactement une boule rouge.
- Valeurs possibles 0, 1, 2.
- Deux chemins pour X = 1.
- Loi correcte (somme égale à 1).
- E(X) = 1,2.

Exercices corrigés : 0 / 9

Exercice 1 sur 9
Calcul
X prend les valeurs 0, 1 et 2 avec P(X = 0) = 0,2 et P(X = 1) = 0,5. Calcule P(X = 2).
Ta réponse
Aide d’ULU pour cet exercice
Exercice 2 sur 9
Calcul
X prend les valeurs 0, 1, 2 avec les probabilités 0,2 ; 0,5 ; 0,3. Calcule E(X).
Ta réponse
Aide d’ULU pour cet exercice
Exercice 3 sur 9
Calcul
Avec la même loi (valeurs 0, 1, 2 ; probabilités 0,2 ; 0,5 ; 0,3), calcule V(X).
Ta réponse
Aide d’ULU pour cet exercice
Exercice 4 sur 9
Calcul
Une variable aléatoire X a une variance V(X) = 0,49. Quel est son écart type σ(X) ?
Ta réponse
Aide d’ULU pour cet exercice
Exercice 5 sur 9
Calcul
X prend les valeurs 0, 1, 2 avec les probabilités 0,2 ; 0,5 ; 0,3. Calcule P(X ≥ 1).
Ta réponse
Aide d’ULU pour cet exercice
Exercice 6 sur 9
Calcul
Pour jouer, on paie une mise de m euros, puis on lance un dé équilibré : si l’on obtient 6, on reçoit 12 € ; sinon, on ne reçoit rien. Pour quelle mise m le jeu est-il équitable ?
Ta réponse€
Aide d’ULU pour cet exercice
Exercice 7 sur 9
Vrai ou faux
L’espérance d’une variable aléatoire est toujours l’une des valeurs prises par cette variable.
Vrai ou faux ?
VraiFaux
Aide d’ULU pour cet exercice
Exercice 8 sur 9
Association
Associe chaque notion à sa formule ou à sa propriété.
- Espérance
- Variance
- Écart type
- Loi de probabilité
- Jeu équitable
Aide d’ULU pour cet exercice
Exercice 9 sur 9
Question ouverte
Une urne contient 3 boules rouges et 2 bleues. On tire successivement deux boules avec remise. X est le nombre de boules rouges obtenues. Détermine la loi de X et son espérance.
Ta réponse
Aide d’ULU pour cet exercice

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