Savoir qu’un événement est réalisé modifie souvent la probabilité d’un autre : la probabilité d’avoir un test positif n’est pas la même selon que l’on est malade ou non. Les probabilités conditionnelles formalisent cette idée ; les arbres pondérés permettent de les organiser.
Une question sur ce cours ?
ULU, le tuteur d’ULUMINE, t’aide à partir de ce cours.
Objectifs
- Calculer une probabilité conditionnelle
- Construire et exploiter un arbre pondéré ou un tableau croisé
- Utiliser la formule des probabilités totales
- Reconnaître et utiliser l’indépendance de deux événements
1. Probabilité conditionnelle
Probabilité de B sachant A : Soit A un événement de probabilité non nulle. La probabilité de B sachant A est PA(B) = .
P(A ∩ B) = P(A) × PA(B)
Avec un tableau croisé
Dans un lycée de 200 élèves, 120 sont des filles, dont 45 pratiquent un sport en club. On choisit un élève au hasard ; F : « c’est une fille », S : « il pratique un sport en club ».
- PF(S) =
- = 0,375
Parmi les filles, 37,5 % pratiquent un sport en club.
2. Arbres pondérés
- Sur les branches de premier niveau, on écrit P(A) et P(Ā) ; sur celles de second niveau, des probabilités conditionnelles comme PA(B).
- La somme des probabilités des branches issues d’un même nœud vaut 1.
- La probabilité d’un chemin est le produit des probabilités de ses branches : P(A ∩ B) = P(A) × PA(B).
- La probabilité d’un événement est la somme des probabilités des chemins qui y mènent.
3. Formule des probabilités totales
Si A₁, A₂, …, Aₙ forment une partition de l’univers (événements deux à deux incompatibles, de réunion l’univers, de probabilités non nulles), alors :
P(B) = P(A₁ ∩ B) + P(A₂ ∩ B) + … + P(Aₙ ∩ B)
Test de dépistage
2 % d’une population est malade (M). Le test est positif (T) pour 95 % des malades et pour 10 % des non-malades. On note M̄ (« M barre ») l’événement contraire de M.
- P(M ∩ T) = 0,02 × 0,95 = 0,019
- P(M̄ ∩ T) = 0,98 × 0,1 = 0,098
- P(T) = 0,019 + 0,098 = 0,117
- PT(M) = ≈ 0,162
Avec un test positif, la probabilité d’être malade n’est que d’environ 16 % dans ce modèle.
4. Indépendance
Événements indépendants : A et B sont indépendants si P(A ∩ B) = P(A) × P(B). Si P(A) ≠ 0, cela équivaut à PA(B) = P(B) : savoir que A est réalisé ne change pas la probabilité de B.
- Si A et B sont indépendants, alors Ā et B le sont aussi.
- Lors de la succession de deux épreuves indépendantes (deux lancers de dé, deux tirages avec remise…), la probabilité d’un résultat (x ; y) est le produit des probabilités de x et de y.
À retenir
- PA(B) = et P(A ∩ B) = P(A) × PA(B).
- Arbre : somme 1 à chaque nœud, produit le long d’un chemin, somme des chemins.
- Probabilités totales : P(B) = P(A ∩ B) + P(Ā ∩ B).
- A et B indépendants ⟺ P(A ∩ B) = P(A) × P(B).
Et maintenant, à toi !
Vérifie que tu as compris avec les exercices, puis révise avec la fiche.