Exercice 1 sur 10
Vrai ou fauxRappel : F est une primitive de f sur un intervalle I lorsque F′ = f sur I.
Vrai ou faux : F(x) = x³ + 5 est une primitive de f(x) = 3x² sur ℝ.
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Analyse : primitives, équations différentielles et calcul intégral
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Prénom : ……………………………Date : ……………………Score : ……… / 10
Exercice 1 — Coche « Vrai » ou « Faux ».
Rappel : F est une primitive de f sur un intervalle I lorsque F′ = f sur I.
Vrai ou faux : F(x) = x³ + 5 est une primitive de f(x) = 3x² sur ℝ.VraiFaux
Exercice 2 — Coche la bonne réponse.
Rappel : une primitive de xⁿ est (n entier positif).
Quelle est une primitive de f(x) = x² ?- F(x) =
- F(x) = 2x
- F(x) = x³
- F(x) = 3x³
Exercice 3
Rappel : les primitives de f(x) = 2x + 1 sont les fonctions F(x) = x² + x + C, où C est une constante.
Trouve la valeur de C pour laquelle F(1) = 5.Écris tes calculs :
Réponse : ………………
Exercice 4 — Coche la bonne réponse.
Rappel : une primitive de u′eu est eu.
Quelle est une primitive de f(x) = e2x ?- F(x) = 2e2x
- F(x) = e2x
- F(x) = e2x
- F(x) = ex²
Exercice 5 — Coche la bonne réponse.
Rappel : si u est strictement positive, une primitive de est ln(u).
Quelle est une primitive sur ℝ de f(x) = ?- F(x) = ln(2x)
- F(x) = ln(x² + 3)
- F(x) =
- F(x) = 2x ln(x² + 3)
Exercice 6
Rappel : ∫ab f(x) dx = F(b) − F(a), où F est une primitive de f.
Calcule ∫13 2x dx.Écris tes calculs :
Réponse : ………………
Exercice 7
Calcule ∫01 eˣ dx. Donne la valeur arrondie au centième.
Aide : eˣ est sa propre primitive.Écris tes calculs :
Réponse : ………………
Exercice 8
Rappel : la valeur moyenne de f sur [a ; b] est × ∫ab f(x) dx.
Calcule la valeur moyenne de f(x) = x² sur [0 ; 3].Écris tes calculs :
Réponse : ………………
Exercice 9 — Coche la bonne réponse.
Rappel : les solutions sur ℝ de y′ = ay sont les fonctions x ↦ Ceax, C réel.
Quelles sont les solutions de y′ = 3y ?- y(x) = Ce3x
- y(x) = 3eCx
- y(x) = Cex + 3
- y(x) = 3x + C
Exercice 10
Rappel : les solutions de y′ = ay + b (a ≠ 0) sont les fonctions x ↦ Ceax − .
On cherche la solution f de y′ = −2y + 4 telle que f(0) = 5. Elle s’écrit f(x) = Ce−2x + 2. Calcule C.Écris tes calculs :
Réponse : ………………
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Retravailler : Analyse : primitives, équations différentielles et calcul intégral
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Exercice 1
Réponse : Vrai
On dérive F : F′(x) = 3x² + 0 = 3x² = f(x). C’est donc bien une primitive.
- La constante 5 disparaît en dérivant.
- x³, x³ + 5, x³ − 2… sont toutes des primitives de 3x² : elles diffèrent d’une constante.
Exercice 2
Réponse : F(x) =
On augmente l’exposant de 1 et on divise par le nouvel exposant.
- n = 2 : F(x) = .
- Vérification : F′(x) = = x².
- Piège : 2x est la dérivée de x², pas une primitive.
Exercice 3
Réponse : 3
La condition F(1) = 5 permet de choisir une primitive précise parmi toutes les primitives.
- F(1) = 1² + 1 + C = 2 + C
- 2 + C = 5, donc C = 3.
- La primitive cherchée est F(x) = x² + x + 3.
Exercice 4
Réponse : F(x) = e2x
Avec u(x) = 2x, u′(x) = 2 : il « manque » un facteur 2. On écrit f(x) = × 2e2x.
- Une primitive de 2e2x est e2x.
- Donc une primitive de e2x est e2x.
- Vérification : (e2x)′ = × 2e2x = e2x.
Exercice 5
Réponse : F(x) = ln(x² + 3)
Le numérateur 2x est exactement la dérivée du dénominateur u(x) = x² + 3, qui est strictement positif.
- u(x) = x² + 3 > 0 et u′(x) = 2x.
- F(x) = ln(x² + 3).
- Vérification : F′(x) = .
Exercice 6
Réponse : 8
Une primitive de 2x est x². On l’évalue aux bornes et on fait la différence (borne du haut moins borne du bas).
- F(x) = x²
- F(3) − F(1) = 9 − 1 = 8
- Interprétation : 2x ≥ 0 sur [1 ; 3], donc 8 est l’aire (en unités d’aire) sous la courbe.
Exercice 7
Réponse : 1,72
On utilise la primitive F(x) = eˣ.
- ∫01 eˣ dx = e¹ − e⁰ = e − 1
- e − 1 ≈ 2,718 − 1 ≈ 1,72
Exercice 8
Réponse : 3
On calcule d’abord l’intégrale, puis on la divise par la longueur de l’intervalle.
- Une primitive de x² est .
- ∫03 x² dx = − 0 = 9
- Valeur moyenne : × 9 = 3
Exercice 9
Réponse : y(x) = Ce3x
On applique directement le cours avec a = 3.
- y(x) = Ce3x
- Vérification : y′(x) = 3Ce3x = 3y(x).
Exercice 10
Réponse : 3
On écrit la forme générale des solutions, puis on utilise la condition initiale pour trouver C.
- a = −2 et b = 4, donc − = − = 2 : f(x) = Ce−2x + 2.
- f(0) = C × e⁰ + 2 = C + 2
- C + 2 = 5, donc C = 3 et f(x) = 3e−2x + 2.
Ces exercices reprennent la recherche de primitives, le calcul d’intégrales et la résolution des équations différentielles du programme. On part de la définition d’une primitive pour arriver aux conditions initiales. Vérifie toujours une primitive en la dérivant : c’est le meilleur réflexe.
Exercices corrigés : 0 / 10
Exercice 2 sur 10
QCMRappel : une primitive de xⁿ est (n entier positif).
Quelle est une primitive de f(x) = x² ?Exercice 3 sur 10
CalculRappel : les primitives de f(x) = 2x + 1 sont les fonctions F(x) = x² + x + C, où C est une constante.
Trouve la valeur de C pour laquelle F(1) = 5.Exercice 4 sur 10
QCMRappel : une primitive de u′eu est eu.
Quelle est une primitive de f(x) = e2x ?Exercice 5 sur 10
QCMRappel : si u est strictement positive, une primitive de est ln(u).
Quelle est une primitive sur ℝ de f(x) = ?Exercice 6 sur 10
CalculRappel : ∫ab f(x) dx = F(b) − F(a), où F est une primitive de f.
Calcule ∫13 2x dx.Exercice 7 sur 10
CalculCalcule ∫01 eˣ dx. Donne la valeur arrondie au centième.
Aide : eˣ est sa propre primitive.Exercice 8 sur 10
CalculRappel : la valeur moyenne de f sur [a ; b] est × ∫ab f(x) dx.
Calcule la valeur moyenne de f(x) = x² sur [0 ; 3].Exercice 9 sur 10
QCMRappel : les solutions sur ℝ de y′ = ay sont les fonctions x ↦ Ceax, C réel.
Quelles sont les solutions de y′ = 3y ?Exercice 10 sur 10
CalculRappel : les solutions de y′ = ay + b (a ≠ 0) sont les fonctions x ↦ Ceax − .
On cherche la solution f de y′ = −2y + 4 telle que f(0) = 5. Elle s’écrit f(x) = Ce−2x + 2. Calcule C.