Comment mesurer l’aire d’une surface délimitée par une courbe ? L’intégrale répond à cette question, et le lien avec les primitives permet de la calculer exactement. C’est l’un des résultats les plus puissants de l’analyse.
Une question sur ce cours ?
ULU, le tuteur d’ULUMINE, t’aide à partir de ce cours.
Objectifs
- Interpréter une intégrale comme une aire
- Calculer une intégrale à l’aide d’une primitive
- Utiliser la linéarité, la relation de Chasles et la positivité
- Calculer une valeur moyenne et une aire entre deux courbes
- Pratiquer l’intégration par parties
1. Intégrale et aire
Intégrale d’une fonction positive : Soit f continue et positive sur [a ; b]. L’intégrale de a à b de f, notée ∫ab f(x) dx, est l’aire (en unités d’aire) du domaine compris entre la courbe de f, l’axe des abscisses et les droites x = a et x = b.
2. Intégrale et primitives
- Si f est continue et positive sur [a ; b], la fonction x ↦ ∫ax f(t) dt est la primitive de f qui s’annule en a.
- Pour f continue sur [a ; b] (de signe quelconque) et F une primitive de f :
∫ab f(x) dx = F(b) − F(a)
Calculer ∫02 3x² dx
- Une primitive de 3x² est x³.
- [x³]02 = 2³ − 0³ = 8
∫02 3x² dx = 8
3. Propriétés
| Propriété | Énoncé (f, g continues) |
|---|---|
| Linéarité | ∫ab (αf + βg) = α∫ab f + β∫ab g |
| Relation de Chasles | ∫ac f = ∫ab f + ∫bc f, pour a, b, c dans l’intervalle |
| Positivité | Si a ≤ b et f ≥ 0 sur [a ; b], alors ∫ab f ≥ 0 |
| Croissance | Si a ≤ b et f ≤ g sur [a ; b], alors ∫ab f ≤ ∫ab g |
Valeur moyenne : La valeur moyenne de f sur [a ; b] (a < b) est le nombre μ = ∫ab f(x) dx.
4. Intégration par parties
∫ab u(x)v′(x) dx = [u(x)v(x)]ab − ∫ab u′(x)v(x) dx
Calculer ∫01 xeˣ dx
- On pose u(x) = x et v′(x) = eˣ, donc u′(x) = 1 et v(x) = eˣ.
- ∫01 xeˣ dx = [xeˣ]01 − ∫01 eˣ dx = e − [eˣ]01 = e − (e − 1)
∫01 xeˣ dx = 1
À retenir
- Pour f ≥ 0, ∫ab f(x) dx est une aire sous la courbe.
- ∫ab f(x) dx = F(b) − F(a), F primitive de f.
- Linéarité, Chasles, positivité, croissance.
- Valeur moyenne : ∫ab f(x) dx.
- Intégration par parties : ∫uv′ = [uv] − ∫u′v.
Et maintenant, à toi !
Vérifie que tu as compris avec les exercices, puis révise avec la fiche.