Exercices : le calcul intégral

Exercice 1

Réponse : 8

Une primitive de 3x² est x³.

1. [x³]₀² = 8 − 0 = 8

Exercice 2

Réponse : 1,72

Une primitive de eˣ est eˣ.

1. [eˣ]₀¹ = e − 1
2. e − 1 ≈ 1,718, arrondi : 1,72

Exercice 3

Réponse : 1

Une primitive de 1x sur ]0 ; +∞[ est ln(x).

1. [ln(x)]₁^e = ln(e) − ln(1) = 1 − 0 = 1

Exercice 4

Réponse : 2

Une primitive de sin est −cos.

1. [−cos(x)]₀^π = −cos(π) + cos(0) = 1 + 1 = 2

Exercice 5

Réponse : 5

Relation de Chasles : ∫₀³ f = ∫₀¹ f + ∫₁³ f, donc ∫₁³ f = 7 − 2 = 5.

Exercice 6

Réponse : 3

μ = 13 − 0 ∫₀³ x² dx.

1. ∫₀³ x² dx = [x³3]₀³ = 9
2. μ = 93 = 3

Exercice 7

Réponse : 0,167

Sur [0 ; 1], x ≥ x², donc l’aire vaut ∫₀¹ (x − x²) dx.

1. [x²2 − x³3]₀¹ = 12 − 13 = 16
2. 16 ≈ 0,167

Exercice 8

Réponse : Vrai

C’est la propriété de positivité de l’intégrale : l’intégrale d’une fonction positive est une aire, donc positive.

Exercice 9

Exemple de réponse : On pose u(x) = x et v′(x) = eˣ ; alors u′(x) = 1 et v(x) = eˣ. Ces fonctions sont dérivables à dérivées continues sur [0 ; 1].
I = [xeˣ]₀¹ − ∫₀¹ eˣ dx = (1 × e − 0) − [eˣ]₀¹ = e − (e − 1).
I = 1.

On choisit de dériver x (qui devient 1) et d’intégrer eˣ (qui reste eˣ) : l’intégrale restante devient simple.

• Tu as bien choisi u et v′.
• Tu as appliqué correctement la formule.
• Tu as obtenu I = 1.