Dériver, tu sais faire. Ici, on fait le chemin inverse : retrouver une fonction connaissant sa dérivée. C’est la notion de primitive, qui mène aux équations différentielles, où l’inconnue est une fonction. Elles modélisent la croissance d’une population, le refroidissement d’un objet ou la charge d’un condensateur.
Une question sur ce cours ?
ULU, le tuteur d’ULUMINE, t’aide à partir de ce cours.
Objectifs
- Comprendre ce qu’est une équation différentielle et une primitive
- Déterminer des primitives à l’aide d’un tableau et des formes composées
- Résoudre y′ = ay et y′ = ay + b
- Résoudre y′ = ay + f à l’aide d’une solution particulière
- Trouver la solution vérifiant une condition initiale
1. Équations différentielles et primitives
Équation différentielle : Équation dont l’inconnue est une fonction y et qui fait intervenir sa dérivée y′. Exemple : y′ = 2y. Une solution est une fonction dérivable qui vérifie l’égalité sur un intervalle.
Primitive : F est une primitive de f sur l’intervalle I si F est dérivable sur I et F′ = f. Autrement dit, F est solution de l’équation différentielle y′ = f.
- Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives sur cet intervalle.
- Si F est une primitive de f, les autres primitives sont les fonctions F + C, où C est une constante réelle.
- Si f admet des primitives sur I, alors pour x₀ ∈ I et y₀ réel donnés, il existe une unique primitive F de f telle que F(x₀) = y₀.
2. Calcul de primitives
| f(x) | F(x) | Intervalle |
|---|---|---|
| a (constante) | ax | ℝ |
| xⁿ (n entier ≥ 0) | ℝ | |
| − | ]0 ; +∞[ ou ]−∞ ; 0[ | |
| 2√x | ]0 ; +∞[ | |
| ln(x) | ]0 ; +∞[ | |
| eˣ | eˣ | ℝ |
| cos(x) | sin(x) | ℝ |
| sin(x) | −cos(x) | ℝ |
| Forme | Une primitive |
|---|---|
| u′eu | eu |
| u′uⁿ (n entier ≥ 0) | |
| (u > 0) | ln(u) |
| (u > 0) | 2√u |
| (u ≠ 0) | − |
Une primitive de f(x) = 2xex²
- On reconnaît u′eu avec u(x) = x², u′(x) = 2x.
F(x) = ex²
3. Équations y′ = ay et y′ = ay + b
y′ = ay ⟺ y(x) = Ceax, C ∈ ℝ
y′ = ay + b ⟺ y(x) = Ceax − , C ∈ ℝ
Résoudre y′ = 2y avec y(0) = 3
- Les solutions sont y(x) = Ce2x.
- y(0) = Ce⁰ = C = 3.
y(x) = 3e2x
4. Équations y′ = ay + f
Résoudre y′ = 2y + x
- On cherche une solution particulière affine g(x) = mx + p : g′(x) = m.
- m = 2(mx + p) + x pour tout x ⟺ 2m + 1 = 0 et m = 2p ⟺ m = − et p = −.
- Solutions de y′ = 2y : Ce2x.
y(x) = Ce2x − x − , C ∈ ℝ
À retenir
- F primitive de f ⟺ F′ = f ; deux primitives diffèrent d’une constante.
- u′eu → eu ; → ln(u) (u > 0).
- y′ = ay : y = Ceax.
- y′ = ay + b : y = Ceax − .
- y′ = ay + f : solution particulière + solutions de y′ = ay.
Et maintenant, à toi !
Vérifie que tu as compris avec les exercices, puis révise avec la fiche.