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Exercices : primitives et équations différentielles

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Primitives et équations différentielles — S’entraîner

Feuille d’exercices

Prénom : ……………………………Date : ……………………Score : ……… / 8

Pour vérifier une primitive, dérive-la : tu dois retrouver la fonction de départ.

Exercice 1 — Coche la bonne réponse.
Une primitive de f(x) = 3x² + 2x sur ℝ est :
- 6x + 2
- x³ + x²
- 3x³ + 2x²
- x³ + 2x
Exercice 2 — Coche la bonne réponse.
Une primitive de f(x) = e^2x sur ℝ est :
- e^2x
- 2e^2x
- e^2x
- e^x²
Exercice 3 — Coche la bonne réponse.
Une primitive de f(x) = sur ]0 ; +∞[ est :
- ln(x²)
- −
- −
Exercice 4 — Coche « Vrai » ou « Faux ».
La fonction F(x) = ln(x² + 1) est une primitive de f(x) = sur ℝ.
VraiFaux
Exercice 5
Soit F la primitive de f(x) = 2x + 1 sur ℝ telle que F(1) = 5. Calcule F(2).
Écris tes calculs :
Réponse : ………………
Exercice 6
La solution de y′ = 2y vérifiant y(0) = 3 s’écrit y(x) = Ce^2x. Donne C.
Écris tes calculs :
Réponse : ………………
Exercice 7 — Coche la bonne réponse.
Les solutions de l’équation différentielle y′ = −y + 4 sont les fonctions :
- Ce^−x + 4
- Ce^−x − 4
- Ceˣ + 4
- 4e^−x + C
Exercice 8
On considère (E) : y′ = 2y + x. Détermine une solution particulière affine de (E), puis toutes les solutions de (E).

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Primitives et équations différentielles — S’entraîner

Corrigé détaillé — pour les parents et les enseignants

Exercice 1
Réponse : x³ + x²
La dérivée de x³ + x² est 3x² + 2x.
Exercice 2
Réponse : e^2x
La dérivée de e^2x est × 2e^2x = e^2x.
Exercice 3
Réponse : −
(−)′ = . Attention : − est la dérivée de , pas une primitive.
Exercice 4
Réponse : Vrai
x² + 1 > 0 sur ℝ et (ln u)′ = avec u(x) = x² + 1 : F′(x) = .
Exercice 5
Réponse : 9
On écrit la forme générale des primitives, puis on utilise la condition F(1) = 5.
1. F(x) = x² + x + C
2. F(1) = 2 + C = 5, donc C = 3
3. F(2) = 4 + 2 + 3 = 9
Exercice 6
Réponse : 3
y(0) = Ce⁰ = C, donc C = 3.
Exercice 7
Réponse : Ce^−x + 4
Avec a = −1 et b = 4 : y = Ce^ax − = Ce^−x + 4. Vérification : y′ = −Ce^−x et −y + 4 = −Ce^−x − 4 + 4 = −Ce^−x.
Exercice 8
Exemple de réponse : On cherche g(x) = mx + p. Alors g′(x) = m et g est solution si m = 2(mx + p) + x pour tout x, soit (2m + 1)x + 2p − m = 0 pour tout x.
Donc 2m + 1 = 0 et 2p = m : m = − et p = −. g(x) = −x − .
Les solutions de y′ = 2y sont x ↦ Ce^2x.
Les solutions de (E) sont les fonctions y(x) = Ce^2x − x − , C ∈ ℝ.
Solution générale = solution particulière + solution générale de l’équation homogène.
- Tu as identifié les coefficients pour obtenir m et p.
- Tu as résolu l’équation homogène y′ = 2y.
- Tu as additionné solution particulière et solutions homogènes.

Pour vérifier une primitive, dérive-la : tu dois retrouver la fonction de départ.

Exercices corrigés : 0 / 8

Exercice 1 sur 8
QCM
Une primitive de f(x) = 3x² + 2x sur ℝ est :
Choisis une réponse
6x + 2x³ + x²3x³ + 2x²x³ + 2x
Aide d’ULU pour cet exercice
Exercice 2 sur 8
QCM
Une primitive de f(x) = e^2x sur ℝ est :
Choisis une réponse
e^2x2e^2xe^2xe^x²
Aide d’ULU pour cet exercice
Exercice 3 sur 8
QCM
Une primitive de f(x) = sur ]0 ; +∞[ est :
Choisis une réponse
ln(x²)−−
Aide d’ULU pour cet exercice
Exercice 4 sur 8
Vrai ou faux
La fonction F(x) = ln(x² + 1) est une primitive de f(x) = sur ℝ.
Vrai ou faux ?
VraiFaux
Aide d’ULU pour cet exercice
Exercice 5 sur 8
Calcul
Soit F la primitive de f(x) = 2x + 1 sur ℝ telle que F(1) = 5. Calcule F(2).
Ta réponse
Aide d’ULU pour cet exercice
Exercice 6 sur 8
Calcul
La solution de y′ = 2y vérifiant y(0) = 3 s’écrit y(x) = Ce^2x. Donne C.
Ta réponse
Aide d’ULU pour cet exercice
Exercice 7 sur 8
QCM
Les solutions de l’équation différentielle y′ = −y + 4 sont les fonctions :
Choisis une réponse
Ce^−x + 4Ce^−x − 4Ceˣ + 44e^−x + C
Aide d’ULU pour cet exercice
Exercice 8 sur 8
Question ouverte
On considère (E) : y′ = 2y + x. Détermine une solution particulière affine de (E), puis toutes les solutions de (E).
Ta réponse
Aide d’ULU pour cet exercice

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