Pour décrire précisément un mouvement, on utilise trois vecteurs liés par la dérivation : le vecteur position OM⃗, le vecteur vitesse v⃗ et le vecteur accélération a⃗. Ils permettent de caractériser tous les mouvements étudiés en Terminale.
Une question sur ce cours ?
ULU, le tuteur d’ULUMINE, t’aide à partir de ce cours.
Objectifs
- Définir les vecteurs vitesse et accélération comme dérivées
- Établir les équations horaires d’un mouvement rectiligne uniformément varié
- Caractériser un mouvement circulaire uniforme ou non uniforme
- Utiliser le repère de Frenet
1. Vecteurs position, vitesse et accélération
v⃗ = et a⃗ =
En coordonnées cartésiennes, si OM⃗ = x(t) i⃗ + y(t) j⃗, alors vx = , vy = , ax = , ay = . Le vecteur vitesse est tangent à la trajectoire.
2. Mouvements rectilignes
| Mouvement | Accélération | Vitesse | Position |
|---|---|---|---|
| rectiligne uniforme | a = 0 | v = v0 | x(t) = v0t + x0 |
| rectiligne uniformément varié | a = constante | v(t) = at + v0 | x(t) = at2 + v0t + x0 |
Freinage d’une voiture
Une voiture roulant à 20 m·s−1 freine avec une accélération constante de valeur 5,0 m·s−2.
- v(t) = −5,0t + 20 s’annule pour t = 4,0 s.
- x(4,0) = − × 5,0 × 4,02 + 20 × 4,0 = −40 + 80 = 40 m.
Distance de freinage : 40 m.
3. Mouvement circulaire et repère de Frenet
Pour un mouvement circulaire de rayon R, on utilise le repère de Frenet (M, u⃗t, u⃗n) : u⃗t est tangent à la trajectoire dans le sens du mouvement, u⃗n est dirigé vers le centre.
a⃗ = u⃗t + u⃗n
- Mouvement circulaire uniforme : v constante, donc a⃗ = u⃗n : l’accélération est centripète, de valeur .
- Mouvement circulaire non uniforme : l’accélération a aussi une composante tangentielle .
4. Étudier un mouvement avec Python
dt = 0.1
x = [0.0, 0.25, 1.0, 2.25, 4.0] # positions (m) toutes les 0,1 s
v = [(x[i + 1] - x[i - 1]) / (2 * dt) for i in range(1, len(x) - 1)]
a = [(v[i + 1] - v[i]) / dt for i in range(len(v) - 1)]
print(v) # [5.0, 10.0, 15.0]
print(a) # [50.0, 50.0] : accélération constanteÀ retenir
- v⃗ = , tangent à la trajectoire ; a⃗ = .
- Rectiligne uniformément varié : v = at + v0, x = at2 + v0t + x0.
- Frenet : a⃗ = u⃗t + u⃗n.
- Circulaire uniforme : accélération centripète de valeur .
Et maintenant, à toi !
Vérifie que tu as compris avec les exercices, puis révise avec la fiche.