Algèbre

Exercice 1

Réponse : 13

uₙ = 2n + 3 est une formule explicite : le terme de rang 5 s’obtient en remplaçant n par 5.

1. u₅ = 2 × 5 + 3
2. u₅ = 10 + 3 = 13

Exercice 2

Réponse : 9

Avec une définition par récurrence, on ne peut pas sauter d’étape : on calcule les termes un par un, chacun à partir du précédent.

1. u₁ = 2 × u₀ − 1 = 2 × 3 − 1 = 5
2. u₂ = 2 × u₁ − 1 = 2 × 5 − 1 = 9

Exercice 3

Réponse : La suite est croissante.

Si uₙ₊₁ − uₙ ≥ 0 pour tout n, chaque terme est supérieur ou égal au précédent : la suite est croissante. Ici 2n + 1 > 0 pour tout entier naturel n.

1. uₙ₊₁ − uₙ = (n + 1)² + 1 − (n² + 1) = n² + 2n + 1 + 1 − n² − 1 = 2n + 1
2. n ≥ 0, donc 2n + 1 ≥ 1 > 0
3. La suite est (strictement) croissante.

Exercice 4

Réponse : Vrai

Une suite est arithmétique quand on passe d’un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre r (la raison) : uₙ₊₁ = uₙ + r. Ici on ajoute −4 à chaque fois.

1. uₙ₊₁ = uₙ + (−4)
2. La raison est r = −4 : 10, 6, 2, −2, …

Exercice 5

Réponse : 67

Pour aller de u₀ à u₂₀, on ajoute 20 fois la raison : u₂₀ = u₀ + 20r.

1. u₂₀ = 7 + 20 × 3
2. u₂₀ = 7 + 60 = 67

Exercice 6

Réponse : 405

Pour aller de u₀ à u₄, on multiplie 4 fois par la raison : u₄ = u₀ × q⁴.

1. u₄ = 5 × 3⁴
2. 3⁴ = 81
3. u₄ = 5 × 81 = 405
4. Vérification : 5, 15, 45, 135, 405 ✓

Exercice 7

Réponse : 1275

On applique la formule avec n = 50. Idée de la formule : on associe le premier et le dernier terme (1 + 50), le deuxième et l’avant-dernier (2 + 49)… chaque paire vaut 51 et il y a 25 paires.

1. 1 + 2 + … + 50 = 50 × 512
2. = 25502 = 1 275
3. Avec les paires : 25 × 51 = 1 275 ✓

Exercice 8

Réponse : 16

On identifie a = 1, b = −6, c = 5, puis on remplace dans Δ = b² − 4ac.

1. a = 1, b = −6, c = 5
2. b² = (−6)² = 36 (un carré est toujours positif)
3. 4ac = 4 × 1 × 5 = 20
4. Δ = 36 − 20 = 16

Exercice 9

Réponse : 1 · 5

Δ = 16 > 0, donc l’équation a deux solutions. √Δ = 4 et −b = 6.

1. x₁ = (6 − 4)2 = 1
2. x₂ = (6 + 4)2 = 5
3. Vérification : 1 − 6 + 5 = 0 et 25 − 30 + 5 = 0 ✓
4. On peut donc factoriser : x² − 6x + 5 = (x − 1)(x − 5).

Exercice 10

Réponse : [−2 ; 3]

On cherche les racines du trinôme, puis on utilise la règle des signes : le trinôme est du signe de a à l’extérieur des racines et du signe contraire entre les racines.

1. Δ = (−1)² − 4 × 1 × (−6) = 1 + 24 = 25, √Δ = 5
2. x₁ = (1 − 5)2 = −2 et x₂ = (1 + 5)2 = 3
3. a = 1 > 0 : le trinôme est négatif (ou nul) entre les racines.
4. Solutions : [−2 ; 3] (crochets fermés car l’inégalité est large).