Exercice 1 sur 10
CalculDans une base orthonormée, u(2 ; 5) et v(3 ; −1). Calcule u · v.
Aide : u · v = xx′ + yy′.
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Géométrie
10 exercices progressifs, des bases jusqu’au niveau attendu, avec une correction détaillée.
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Retravailler : Géométrie
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Prénom : ……………………………Date : ……………………Score : ……… / 10
Exercice 1
Dans une base orthonormée, u(2 ; 5) et v(3 ; −1). Calcule u · v.
Aide : u · v = xx′ + yy′.Écris tes calculs :
Réponse : ………………
Exercice 2 — Coche « Vrai » ou « Faux ».
Dans une base orthonormée, les vecteurs u(2 ; 3) et v(−3 ; 2) sont orthogonaux.
VraiFaux
Exercice 3
Dans une base orthonormée, calcule la norme du vecteur u(3 ; 4).
Aide : ‖u‖ = √(x² + y²).Écris tes calculs :
Réponse : ………………
Exercice 4
Deux vecteurs u et v vérifient ‖u‖ = 3, ‖v‖ = 4 et (u, v) = . Calcule u · v.
Aide : u · v = ‖u‖ × ‖v‖ × cos(u, v) et cos() = −.Écris tes calculs :
Réponse : ………………
Exercice 5
A, B, C sont trois points, et H est le projeté orthogonal de C sur la droite (AB). On sait que AB = 6, AH = 2 et que H appartient au segment [AB]. Calcule AB · AC.
Aide : AB · AC = AB · AH.Écris tes calculs :
Réponse : ………………
Exercice 6
Dans un triangle ABC, AB = 5, AC = 3 et l’angle BAC mesure 120°. Calcule BC.
Aide : Al-Kashi, BC² = AB² + AC² − 2 × AB × AC × cos(BAC), avec cos(120°) = −.Écris tes calculs :
Réponse : ………………
Exercice 7 — Coche la bonne réponse.
Dans un repère orthonormé, la droite d a pour équation 2x − 5y + 1 = 0. Lequel de ces vecteurs est un vecteur normal à d ?
Aide : pour ax + by + c = 0, n(a ; b) est normal à la droite.- n(2 ; −5)
- n(5 ; 2)
- n(−5 ; 2)
- n(2 ; 1)
Exercice 8 — Coche la bonne réponse.
Quelle est une équation de la droite passant par A(2 ; −1) et de vecteur normal n(1 ; 4) ?
- x + 4y + 2 = 0
- x + 4y − 2 = 0
- 4x − y − 9 = 0
- 2x − y + 1 = 0
Exercice 9 — Coche la bonne réponse.
Quelle est une équation du cercle de centre Ω(1 ; −2) et de rayon 3 ?
Aide : (x − a)² + (y − b)² = r².- (x − 1)² + (y + 2)² = 9
- (x + 1)² + (y − 2)² = 9
- (x − 1)² + (y + 2)² = 3
- (x − 1)² + (y − 2)² = 9
Exercice 10
L’ensemble des points M(x ; y) tels que x² + y² + 2x − 8y + 8 = 0 est un cercle. Calcule son rayon.
Écris tes calculs :
Réponse : ………………
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Retravailler : Géométrie
Corrigé détaillé — pour les parents et les enseignants
Exercice 1
Réponse : 1
On multiplie les abscisses entre elles, les ordonnées entre elles, puis on additionne.
- xx′ = 2 × 3 = 6
- yy′ = 5 × (−1) = −5
- u · v = 6 + (−5) = 1
Exercice 2
Réponse : Vrai
Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.
- u · v = 2 × (−3) + 3 × 2 = −6 + 6 = 0
- Le produit scalaire est nul : u et v sont orthogonaux.
Exercice 3
Réponse : 5
La norme d’un vecteur est sa longueur ; en base orthonormée, elle se calcule avec le théorème de Pythagore.
- x² + y² = 9 + 16 = 25
- ‖u‖ = √25 = 5
Exercice 4
Réponse : -6
On applique la formule avec le cosinus. L’angle est obtus, donc son cosinus est négatif : le produit scalaire est négatif.
- u · v = 3 × 4 × cos()
- = 12 × (−) = −6
Exercice 5
Réponse : 12
Par projection, AB · AC = AB · AH. Comme H est sur [AB], les vecteurs AB et AH ont le même sens : le produit scalaire vaut AB × AH (il serait égal à −AB × AH si les sens étaient contraires).
- AB · AC = AB · AH
- Même sens : AB · AH = AB × AH = 6 × 2 = 12
Exercice 6
Réponse : 7
On remplace dans la formule d’Al-Kashi en faisant attention au signe : le cosinus est négatif, donc on ajoute.
- BC² = 25 + 9 − 2 × 5 × 3 × (−)
- = 34 + 15 = 49
- BC = √49 = 7
Exercice 7
Réponse : n(2 ; −5)
Les coefficients de x et de y donnent directement un vecteur normal. Un vecteur directeur est alors u(−b ; a) = u(5 ; 2) : ne pas confondre les deux.
- a = 2 et b = −5
- Vecteur normal : n(2 ; −5)
- Vecteur directeur : u(5 ; 2), et on vérifie n · u = 10 − 10 = 0.
Exercice 8
Réponse : x + 4y + 2 = 0
La droite a une équation de la forme x + 4y + c = 0 ; on détermine c en remplaçant par les coordonnées de A.
- d : 1x + 4y + c = 0
- A ∈ d : 2 + 4 × (−1) + c = 0, soit −2 + c = 0, donc c = 2
- d : x + 4y + 2 = 0
Exercice 9
Réponse : (x − 1)² + (y + 2)² = 9
Un point M(x ; y) est sur le cercle si et seulement si ΩM = 3, c’est-à-dire ΩM² = 9. Attention aux signes : y − (−2) = y + 2.
- a = 1, b = −2, r = 3
- (x − 1)² + (y − (−2))² = 3²
- (x − 1)² + (y + 2)² = 9
Exercice 10
Réponse : 3
On fait apparaître les formes canoniques en x et en y : x² + 2x = (x + 1)² − 1 et y² − 8y = (y − 4)² − 16.
- (x + 1)² − 1 + (y − 4)² − 16 + 8 = 0
- (x + 1)² + (y − 4)² = 9
- C’est le cercle de centre (−1 ; 4) et de rayon √9 = 3.
Ces exercices reprennent le produit scalaire sous ses différentes formes (coordonnées, normes et angle, projection), la formule d’Al-Kashi, puis la géométrie repérée : équations de droites avec un vecteur normal et équations de cercles. Pour chaque question, demande-toi d’abord quelle formule est la mieux adaptée aux données.
Exercices corrigés : 0 / 10
Exercice 2 sur 10
Vrai ou fauxDans une base orthonormée, les vecteurs u(2 ; 3) et v(−3 ; 2) sont orthogonaux.
Exercice 3 sur 10
CalculDans une base orthonormée, calcule la norme du vecteur u(3 ; 4).
Aide : ‖u‖ = √(x² + y²).Exercice 4 sur 10
CalculDeux vecteurs u et v vérifient ‖u‖ = 3, ‖v‖ = 4 et (u, v) = . Calcule u · v.
Aide : u · v = ‖u‖ × ‖v‖ × cos(u, v) et cos() = −.Exercice 5 sur 10
CalculA, B, C sont trois points, et H est le projeté orthogonal de C sur la droite (AB). On sait que AB = 6, AH = 2 et que H appartient au segment [AB]. Calcule AB · AC.
Aide : AB · AC = AB · AH.Exercice 6 sur 10
CalculDans un triangle ABC, AB = 5, AC = 3 et l’angle BAC mesure 120°. Calcule BC.
Aide : Al-Kashi, BC² = AB² + AC² − 2 × AB × AC × cos(BAC), avec cos(120°) = −.Exercice 7 sur 10
QCMDans un repère orthonormé, la droite d a pour équation 2x − 5y + 1 = 0. Lequel de ces vecteurs est un vecteur normal à d ?
Aide : pour ax + by + c = 0, n(a ; b) est normal à la droite.Exercice 8 sur 10
QCMQuelle est une équation de la droite passant par A(2 ; −1) et de vecteur normal n(1 ; 4) ?
Exercice 9 sur 10
QCMQuelle est une équation du cercle de centre Ω(1 ; −2) et de rayon 3 ?
Aide : (x − a)² + (y − b)² = r².Exercice 10 sur 10
CalculL’ensemble des points M(x ; y) tels que x² + y² + 2x − 8y + 8 = 0 est un cercle. Calcule son rayon.