Le produit scalaire associe à deux vecteurs un nombre réel. Il permet de calculer des longueurs et des angles, et surtout de traduire très simplement l’orthogonalité : deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.
Une question sur ce cours ?
ULU, le tuteur d’ULUMINE, t’aide à partir de ce cours.
Objectifs
- Calculer un produit scalaire avec la formule la mieux adaptée
- Utiliser le produit scalaire pour démontrer une orthogonalité
- Calculer un angle ou une longueur, notamment avec la formule d’Al-Kashi
- Utiliser les propriétés de bilinéarité et de symétrie
1. Définitions
Produit scalaire avec le cosinus : Si u et v sont deux vecteurs non nuls, u · v = ‖u‖ × ‖v‖ × cos(u, v), où (u, v) est un angle orienté entre les deux vecteurs. Si l’un des vecteurs est nul, u · v = 0.
Produit scalaire par projection : Soit A, B, C trois points avec A ≠ B, et H le projeté orthogonal de C sur la droite (AB). Alors AB · AC = AB · AH : il vaut AB × AH si les vecteurs AB et AH sont de même sens, et −AB × AH s’ils sont de sens contraires.
2. Propriétés et autres formules
- Symétrie : u · v = v · u.
- Bilinéarité : u · (v + w) = u · v + u · w et (ku) · v = k(u · v).
- Carré scalaire : u · u = ‖u‖².
- Identités : ‖u + v‖² = ‖u‖² + 2u · v + ‖v‖² et ‖u − v‖² = ‖u‖² − 2u · v + ‖v‖².
u · v = (‖u + v‖² − ‖u‖² − ‖v‖²)
u · v = xx′ + yy′ et ‖u‖ = √(x² + y²)
3. Orthogonalité
Le triangle ABC est-il rectangle ?
A(1 ; 1), B(4 ; 2), C(0 ; 4) dans un repère orthonormé.
- AB(3 ; 1) et AC(−1 ; 3)
- AB · AC = 3 × (−1) + 1 × 3 = 0
Les vecteurs sont orthogonaux : ABC est rectangle en A.
Conséquence : pour deux points distincts A et B, l’ensemble des points M tels que MA · MB = 0 est le cercle de diamètre [AB].
4. Formule d’Al-Kashi
Dans un triangle ABC, avec a = BC, b = AC, c = AB :
a² = b² + c² − 2bc × cos Â
Calculer BC sachant AB = 8, AC = 5 et  = 60°
- BC² = 5² + 8² − 2 × 5 × 8 × cos 60°
- BC² = 25 + 64 − 80 × 0,5 = 49
BC = 7
À retenir
- u · v = ‖u‖ × ‖v‖ × cos(u, v) ; par projection AB · AC = AB · AH.
- En base orthonormée : u · v = xx′ + yy′.
- u et v orthogonaux ⟺ u · v = 0.
- Al-Kashi : a² = b² + c² − 2bc cos Â.
Et maintenant, à toi !
Vérifie que tu as compris avec les exercices, puis révise avec la fiche.