Exercice 1 sur 10
CalculDans une base orthonormée, u(3 ; −2) et v(4 ; 5). Calcule u · v.
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Exercices : le produit scalaire
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Le produit scalaire — S’entraîner
Feuille d’exercices
Prénom : ……………………………Date : ……………………Score : ……… / 10
Exercice 1
Dans une base orthonormée, u(3 ; −2) et v(4 ; 5). Calcule u · v.
Écris tes calculs :
Réponse : ………………
Exercice 2
On sait que ‖u‖ = 4, ‖v‖ = 3 et qu’un angle (u, v) mesure . Calcule u · v.
Écris tes calculs :
Réponse : ………………
Exercice 3
Dans un triangle ABC, H est le projeté orthogonal de C sur (AB). On sait que AB = 6, AH = 2 et que H appartient au segment [AB]. Calcule AB · AC.
Écris tes calculs :
Réponse : ………………
Exercice 4 — Coche la bonne réponse.
Dans une base orthonormée, quel vecteur est orthogonal à u(2 ; 3) ?
- v(2 ; 3)
- v(3 ; 2)
- v(3 ; −2)
- v(−2 ; 3)
Exercice 5
Dans une base orthonormée, u(m ; 4) et v(2 ; −1). Pour quelle valeur de m les vecteurs sont-ils orthogonaux ?
Écris tes calculs :
Réponse : ………………
Exercice 6
On sait que ‖u‖ = 2, ‖v‖ = 3 et ‖u + v‖ = 4. Calcule u · v.
Écris tes calculs :
Réponse : ………………
Exercice 7
Dans un triangle ABC, AB = 8, AC = 5 et l’angle  mesure 60°. Calcule BC.
Écris tes calculs :
Réponse : ………………
Exercice 8
Dans une base orthonormée, u(1 ; 1) et v(1 ; 0). Quelle est la mesure en degrés de l’angle géométrique entre u et v ?
Écris tes calculs :
Réponse : ……………… °
Exercice 9 — Coche « Vrai » ou « Faux ».
Si u · v = 0, alors u ou v est le vecteur nul.
VraiFaux
Exercice 10
Dans un repère orthonormé, on donne A(1 ; 1), B(4 ; 2) et C(0 ; 4). Démontre que le triangle ABC est rectangle, puis calcule son aire.
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Le produit scalaire — S’entraîner
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Exercice 1
Réponse : 2
On applique u · v = xx′ + yy′.
- u · v = 3 × 4 + (−2) × 5 = 12 − 10 = 2
Exercice 2
Réponse : 6
On applique u · v = ‖u‖ × ‖v‖ × cos(u, v).
- u · v = 4 × 3 × cos() = 12 × 0,5 = 6
Exercice 3
Réponse : 12
Par projection, AB · AC = AB · AH. Comme H ∈ [AB], les vecteurs AB et AH sont de même sens.
- AB · AC = AB × AH = 6 × 2 = 12
Exercice 4
Réponse : v(3 ; −2)
On cherche le vecteur v tel que u · v = 0.
- u · v(3 ; −2) = 2 × 3 + 3 × (−2) = 6 − 6 = 0
Exercice 5
Réponse : 2
u et v sont orthogonaux si et seulement si u · v = 0.
- u · v = 2m − 4
- 2m − 4 = 0 ⟺ m = 2
Exercice 6
Réponse : 1,5
On utilise ‖u + v‖² = ‖u‖² + 2u · v + ‖v‖².
- 16 = 4 + 2u · v + 9
- 2u · v = 3, donc u · v = 1,5
Exercice 7
Réponse : 7
On applique la formule d’Al-Kashi : BC² = AB² + AC² − 2 × AB × AC × cos Â.
- BC² = 64 + 25 − 2 × 8 × 5 × 0,5
- BC² = 89 − 40 = 49, donc BC = 7
Exercice 8
Réponse : 45 °
On calcule u · v de deux façons pour trouver le cosinus de l’angle.
- u · v = 1 × 1 + 1 × 0 = 1
- ‖u‖ = √2 et ‖v‖ = 1
- cos θ = = , donc θ = 45°
Exercice 9
Réponse : Faux
Contre-exemple : u(1 ; 0) et v(0 ; 1) sont non nuls, mais u · v = 0. Un produit scalaire nul traduit l’orthogonalité, pas la nullité d’un vecteur.
Exercice 10
Exemple de réponse : AB(3 ; 1) et AC(−1 ; 3). AB · AC = 3 × (−1) + 1 × 3 = 0 : les vecteurs sont orthogonaux, donc ABC est rectangle en A.
AB = √(9 + 1) = √10 et AC = √(1 + 9) = √10.
Aire = = = 5 unités d’aire.Pour prouver qu’un triangle est rectangle en A, on montre que AB · AC = 0. Ici le triangle est même isocèle rectangle.
- Coordonnées des vecteurs.
- Produit scalaire nul et conclusion : rectangle en A.
- Longueurs √10.
- Aire égale à 5.
Exercices corrigés : 0 / 10
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Exercice 2 sur 10
CalculOn sait que ‖u‖ = 4, ‖v‖ = 3 et qu’un angle (u, v) mesure . Calcule u · v.
Aide d’ULU pour cet exerciceExercice 3 sur 10
CalculDans un triangle ABC, H est le projeté orthogonal de C sur (AB). On sait que AB = 6, AH = 2 et que H appartient au segment [AB]. Calcule AB · AC.
Aide d’ULU pour cet exerciceExercice 4 sur 10
QCMDans une base orthonormée, quel vecteur est orthogonal à u(2 ; 3) ?
Aide d’ULU pour cet exerciceExercice 5 sur 10
CalculDans une base orthonormée, u(m ; 4) et v(2 ; −1). Pour quelle valeur de m les vecteurs sont-ils orthogonaux ?
Aide d’ULU pour cet exerciceExercice 6 sur 10
CalculOn sait que ‖u‖ = 2, ‖v‖ = 3 et ‖u + v‖ = 4. Calcule u · v.
Aide d’ULU pour cet exerciceExercice 7 sur 10
CalculDans un triangle ABC, AB = 8, AC = 5 et l’angle  mesure 60°. Calcule BC.
Aide d’ULU pour cet exerciceExercice 8 sur 10
CalculDans une base orthonormée, u(1 ; 1) et v(1 ; 0). Quelle est la mesure en degrés de l’angle géométrique entre u et v ?
Aide d’ULU pour cet exerciceExercice 9 sur 10
Vrai ou fauxSi u · v = 0, alors u ou v est le vecteur nul.
Aide d’ULU pour cet exerciceExercice 10 sur 10
Question ouverteDans un repère orthonormé, on donne A(1 ; 1), B(4 ; 2) et C(0 ; 4). Démontre que le triangle ABC est rectangle, puis calcule son aire.
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