ULUMINE · Mathématiques · Première
Le produit scalaire
Le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre ; il est nul si et seulement si les vecteurs sont orthogonaux.
Quatre formules
- ‖u‖ × ‖v‖ × cos(u, v)
- Projection : AB · AC = AB · AH
- (‖u + v‖² − ‖u‖² − ‖v‖²)
- Base orthonormée : xx′ + yy′
Propriétés
- u · v = v · u ; bilinéarité
- u · u = ‖u‖²
- u ⊥ v ⟺ u · v = 0
Applications
- Al-Kashi : a² = b² + c² − 2bc cos Â
- MA · MB = 0 ⟺ M sur le cercle de diamètre [AB]
Pièges à éviter
- Par projection, le signe dépend du sens des vecteurs AB et AH.
- u · v = 0 n’implique pas u = 0 ou v = 0.
- La formule xx′ + yy′ n’est valable que dans une base orthonormée.