Dans un repère orthonormé, une courbe peut être décrite par une équation reliant x et y. Ce chapitre étudie l’équation d’un cercle et revient sur la parabole d’équation y = ax² + bx + c, en lien avec le second degré.
Une question sur ce cours ?
ULU, le tuteur d’ULUMINE, t’aide à partir de ce cours.
Objectifs
- Écrire l’équation d’un cercle de centre et de rayon donnés
- Reconnaître une équation de cercle et déterminer son centre et son rayon
- Utiliser le produit scalaire pour le cercle de diamètre [AB]
- Déterminer l’axe de symétrie et le sommet d’une parabole
1. Équation d’un cercle
Le cercle de centre Ω(a ; b) et de rayon r est l’ensemble des points M(x ; y) tels que ΩM = r, soit ΩM² = r².
(x − a)² + (y − b)² = r²
Exemple
Le cercle de centre Ω(1 ; −2) et de rayon 3 a pour équation (x − 1)² + (y + 2)² = 9.
2. Reconnaître une équation de cercle
Face à une équation du type x² + y² + αx + βy + γ = 0, on fait apparaître des formes canoniques en x et en y.
x² + y² − 4x + 6y − 3 = 0
- x² − 4x = (x − 2)² − 4
- y² + 6y = (y + 3)² − 9
- L’équation devient (x − 2)² − 4 + (y + 3)² − 9 − 3 = 0, soit (x − 2)² + (y + 3)² = 16
C’est le cercle de centre Ω(2 ; −3) et de rayon 4.
3. Cercle de diamètre [AB]
Un point M appartient au cercle de diamètre [AB] si et seulement si MA · MB = 0 (vecteurs). Cela donne directement une équation.
A(−1 ; 2) et B(3 ; 4)
- MA(−1 − x ; 2 − y) et MB(3 − x ; 4 − y)
- MA · MB = 0 ⟺ (x + 1)(x − 3) + (y − 2)(y − 4) = 0
- ⟺ x² + y² − 2x − 6y + 5 = 0 ⟺ (x − 1)² + (y − 3)² = 5
Centre (1 ; 3), milieu de [AB], et rayon √5.
4. Parabole d’équation y = ax² + bx + c
- La courbe de f(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0) est une parabole.
- Son axe de symétrie est la droite d’équation x = −.
- Son sommet est S(α ; f(α)) avec α = −.
- Les points d’intersection avec l’axe des abscisses ont pour abscisses les racines du trinôme.
y = 2x² − 12x + 7
- α = − = 3
- f(3) = 18 − 36 + 7 = −11
Axe : x = 3 ; sommet S(3 ; −11).
À retenir
- Cercle de centre Ω(a ; b) et de rayon r : (x − a)² + (y − b)² = r².
- Pour reconnaître un cercle, on écrit les formes canoniques en x et en y.
- M est sur le cercle de diamètre [AB] ⟺ MA · MB = 0.
- Parabole y = ax² + bx + c : axe x = −, sommet S(α ; f(α)).
Et maintenant, à toi !
Vérifie que tu as compris avec les exercices, puis révise avec la fiche.