Exercices : géométrie repérée : cercles et paraboles

Exercice 1

Réponse : (x − 1)² + (y + 2)² = 9

On applique (x − a)² + (y − b)² = r² avec a = 1, b = −2 et r² = 9. Attention : y − (−2) = y + 2.

Exercice 2

Réponse : (2 ; −3)

On écrit les formes canoniques : x² − 4x = (x − 2)² − 4 et y² + 6y = (y + 3)² − 9.

1. (x − 2)² + (y + 3)² = 16
2. Centre Ω(2 ; −3)

Exercice 3

Réponse : 4

Après mise sous forme canonique, l’équation devient (x − 2)² + (y + 3)² = 16.

1. r² = 16, donc r = 4

Exercice 4

Réponse : Faux

On écrit x² + 2x = (x + 1)² − 1 : l’équation devient (x + 1)² + y² = −4. Une somme de carrés ne peut pas être négative : l’ensemble des points est vide.

Exercice 5

Réponse : 5

Le rayon est la distance ΩA.

1. ΩA² = (4 − 1)² + (1 + 3)² = 9 + 16 = 25
2. r = ΩA = 5

Exercice 6

Réponse : -11

L’abscisse du sommet est α = −b(2a), puis on calcule son image.

1. α = 124 = 3
2. 2 × 9 − 12 × 3 + 7 = 18 − 36 + 7 = −11

Exercice 7

Réponse : 3

On remplace y par x + 1 dans l’équation du cercle et on résout l’équation du second degré obtenue.

1. x² + (x + 1)² = 25 ⟺ 2x² + 2x − 24 = 0 ⟺ x² + x − 12 = 0
2. Δ = 1 + 48 = 49 ; x = (−1 − 7)2 = −4 ou x = (−1 + 7)2 = 3
3. Points (−4 ; −3) et (3 ; 4) : la plus grande abscisse est 3

Exercice 8

Exemple de réponse : M(x ; y) est sur le cercle ⟺ MA · MB = 0 ⟺ (x + 1)(x − 3) + (y − 2)(y − 4) = 0.
En développant : x² − 2x − 3 + y² − 6y + 8 = 0, soit x² + y² − 2x − 6y + 5 = 0.
Formes canoniques : (x − 1)² − 1 + (y − 3)² − 9 + 5 = 0, soit (x − 1)² + (y − 3)² = 5.
Centre (1 ; 3) (milieu de [AB]) et rayon √5.

Vérification : AB = √(16 + 4) = √20 = 2√5, donc le rayon vaut bien √5.

• Utilisation de MA · MB = 0.
• Développement correct.
• Centre (1 ; 3).
• Rayon √5.