En Seconde, une droite était décrite par un point et un vecteur directeur. Grâce au produit scalaire, on peut aussi la décrire par un point et un vecteur normal (orthogonal à la droite). C’est l’outil idéal pour les questions de perpendicularité. Dans tout le chapitre, le repère est orthonormé.
Une question sur ce cours ?
ULU, le tuteur d’ULUMINE, t’aide à partir de ce cours.
Objectifs
- Lire un vecteur normal et un vecteur directeur sur une équation cartésienne
- Déterminer une équation de droite connaissant un point et un vecteur normal
- Reconnaître des droites perpendiculaires
- Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal d’un point sur une droite
1. Vecteur normal à une droite
Vecteur normal : Un vecteur n non nul est normal à une droite d s’il est orthogonal à un vecteur directeur de d.
| Équation cartésienne de d | Vecteur normal | Vecteur directeur |
|---|---|---|
| ax + by + c = 0 | n(a ; b) | u(−b ; a) |
2. Équation d’une droite définie par un point et un vecteur normal
Un point M(x ; y) appartient à la droite d passant par A et de vecteur normal n si et seulement si AM · n = 0.
Droite passant par A(1 ; 2) de vecteur normal n(3 ; −1)
- AM(x − 1 ; y − 2)
- AM · n = 0 ⟺ 3(x − 1) − (y − 2) = 0
- ⟺ 3x − 3 − y + 2 = 0
d : 3x − y − 1 = 0
Médiatrice de [AB] avec A(1 ; 3) et B(5 ; 1)
- Elle passe par le milieu I(3 ; 2) et a pour vecteur normal AB(4 ; −2).
- 4(x − 3) − 2(y − 2) = 0 ⟺ 4x − 2y − 8 = 0
Médiatrice : 2x − y − 4 = 0
3. Droites perpendiculaires
Deux droites sont perpendiculaires si et seulement si leurs vecteurs normaux (ou leurs vecteurs directeurs) sont orthogonaux.
Exemple
d : 2x + 3y − 1 = 0 et d′ : 3x − 2y + 4 = 0 ont pour vecteurs normaux n(2 ; 3) et n′(3 ; −2). n · n′ = 6 − 6 = 0 : les droites sont perpendiculaires.
4. Projeté orthogonal d’un point sur une droite
- Déterminer une équation de la droite Δ perpendiculaire à d passant par A (un vecteur directeur de d est normal à Δ).
- Le projeté orthogonal H de A sur d est l’intersection de d et Δ : on résout le système.
- La distance de A à la droite d est la longueur AH.
Projeté de O(0 ; 0) sur d : 2x + y − 4 = 0
- Vecteur directeur de d : u(−1 ; 2), normal à Δ. Δ : −x + 2y = 0, soit x = 2y.
- Dans d : 2(2y) + y − 4 = 0, donc 5y = 4 et y = 0,8 ; x = 1,6.
H(1,6 ; 0,8)
À retenir
- ax + by + c = 0 : vecteur normal n(a ; b), vecteur directeur u(−b ; a).
- M ∈ d ⟺ AM · n = 0.
- Deux droites sont perpendiculaires ⟺ leurs vecteurs normaux sont orthogonaux.
- Projeté orthogonal = intersection de d et de la perpendiculaire à d passant par le point.
Et maintenant, à toi !
Vérifie que tu as compris avec les exercices, puis révise avec la fiche.