Exercices : géométrie repérée : droites et vecteur normal

Exercice 1

Réponse : n(2 ; −3)

Pour ax + by + c = 0, un vecteur normal est n(a ; b) : ici a = 2 et b = −3. (Le vecteur (3 ; 2) est un vecteur directeur.)

Exercice 2

Réponse : 3x − y − 1 = 0

M(x ; y) ∈ d ⟺ AM · n = 0.

1. 3(x − 1) − 1 × (y − 2) = 0
2. 3x − 3 − y + 2 = 0, soit 3x − y − 1 = 0

Exercice 3

Réponse : Vrai

Leurs vecteurs normaux n(2 ; 3) et n′(3 ; −2) vérifient n · n′ = 6 − 6 = 0 : ils sont orthogonaux, donc les droites sont perpendiculaires.

Exercice 4

Réponse : 2

On isole y pour obtenir l’équation réduite.

1. 2y = 4x + 1
2. y = 2x + 0,5 : le coefficient directeur est 2

Exercice 5

Réponse : 3x + 2y − 4 = 0

La hauteur issue de A passe par A et est perpendiculaire à (BC) : BC est un vecteur normal.

1. BC(3 ; 2)
2. 3(x − 2) + 2(y + 1) = 0
3. 3x − 6 + 2y + 2 = 0, soit 3x + 2y − 4 = 0

Exercice 6

Réponse : 1,6

H est l’intersection de d avec la perpendiculaire à d passant par O.

1. Vecteur directeur de d : u(−1 ; 2), normal à la perpendiculaire Δ : −x + 2y = 0, soit x = 2y
2. Dans d : 4y + y − 4 = 0, donc y = 0,8
3. x = 2 × 0,8 = 1,6

Exercice 7

Réponse : 1 → D · 2 → A · 3 → B · 4 → C

On lit les coefficients de x et de y. Pour y = 5, l’équation s’écrit 0x + 1y − 5 = 0 ; pour x = −2, elle s’écrit 1x + 0y + 2 = 0.

Exercice 8

Exemple de réponse : La médiatrice de [AB] passe par le milieu I de [AB] et est perpendiculaire à (AB).
I((1 + 5)2 ; (3 + 1)2) = I(3 ; 2) et AB(4 ; −2) est un vecteur normal.
M(x ; y) ∈ médiatrice ⟺ IM · AB = 0 ⟺ 4(x − 3) − 2(y − 2) = 0 ⟺ 4x − 2y − 8 = 0.
En divisant par 2 : 2x − y − 4 = 0.

Vérification : I vérifie bien 2 × 3 − 2 − 4 = 0, et le vecteur normal (2 ; −1) est colinéaire à AB(4 ; −2).

• Milieu I(3 ; 2).
• AB comme vecteur normal.
• Équation obtenue par IM · AB = 0.
• Résultat 2x − y − 4 = 0 (ou équivalent).