Exercice 1 sur 10
CalculRappel : AB⃗ a pour coordonnées (xB − xA ; yB − yA), « arrivée moins départ ».
A(1 ; 2) et B(4 ; 7). Quelle est l’abscisse du vecteur AB⃗ ?
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Géométrie
10 exercices progressifs, des bases jusqu’au niveau attendu, avec une correction détaillée.
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Exercice 1
Rappel : AB⃗ a pour coordonnées (xB − xA ; yB − yA), « arrivée moins départ ».
A(1 ; 2) et B(4 ; 7). Quelle est l’abscisse du vecteur AB⃗ ?Écris tes calculs :
Réponse : ………………
Exercice 2 — Coche la bonne réponse.
Rappel : le milieu I de [AB] a pour coordonnées ( ; ).
A(−2 ; 5) et B(4 ; 1). Quelles sont les coordonnées du milieu de [AB] ?- (1 ; 3)
- (3 ; 2)
- (6 ; −4)
- (2 ; 6)
Exercice 3
Rappel : dans un repère orthonormé, la norme de u⃗(x ; y) est ‖u⃗‖ = √(x² + y²).
Calcule la norme du vecteur u⃗(6 ; 8).Écris tes calculs :
Réponse : ………………
Exercice 4 — Coche la bonne réponse.
Rappel (relation de Chasles) : AB⃗ + BC⃗ = AC⃗ ; la lettre d’arrivée de l’un est la lettre de départ du suivant.
Simplifie MN⃗ + NP⃗ + PQ⃗.- MQ⃗
- QM⃗
- MP⃗
- 0⃗
Exercice 5 — Complète les trous.
Rappel : si u⃗(x ; y) et v⃗(x′ ; y′), alors ku⃗ a pour coordonnées (kx ; ky) et u⃗ + v⃗ a pour coordonnées (x + x′ ; y + y′).
On donne u⃗(2 ; −1) et v⃗(−3 ; 4). Complète.Le vecteur 2u⃗ + v⃗ a pour coordonnées ( ; ).
Exercice 6
Rappel : le déterminant de u⃗(x ; y) et v⃗(x′ ; y′) est det(u⃗, v⃗) = xy′ − x′y.
Calcule det(u⃗, v⃗) pour u⃗(2 ; 3) et v⃗(4 ; 5).Écris tes calculs :
Réponse : ………………
Exercice 7 — Coche « Vrai » ou « Faux ».
Rappel : trois points A, B, C sont alignés si et seulement si AB⃗ et AC⃗ sont colinéaires, c’est-à-dire det(AB⃗, AC⃗) = 0.
Affirmation : les points A(0 ; 1), B(2 ; 5) et C(3 ; 7) sont alignés.VraiFaux
Exercice 8 — Coche la bonne réponse.
Rappel : la droite d’équation cartésienne ax + by + c = 0 a pour vecteur directeur u⃗(−b ; a).
Lequel de ces vecteurs est un vecteur directeur de la droite 3x − 2y + 1 = 0 ?- (2 ; 3)
- (3 ; −2)
- (−2 ; 3)
- (3 ; 2)
Exercice 9
Rappel : la pente de (AB) est m = et l’équation réduite s’écrit y = mx + p.
Donne l’équation réduite de la droite passant par A(0 ; −1) et B(2 ; 5).Exercice 10
Les droites d : y = 2x − 3 et d′ : y = −x + 6 sont sécantes. Calcule l’abscisse de leur point d’intersection.
Écris tes calculs :
Réponse : ………………
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Retravailler : Géométrie
Corrigé détaillé — pour les parents et les enseignants
Exercice 1
Réponse : 3
L’abscisse du vecteur est l’abscisse de B moins l’abscisse de A.
- xB − xA = 4 − 1 = 3
- (Son ordonnée est 7 − 2 = 5 : AB⃗(3 ; 5).)
Exercice 2
Réponse : (1 ; 3)
On fait la moyenne des abscisses et la moyenne des ordonnées.
- = = 1
- = = 3
- I(1 ; 3). (Le choix (6 ; −4) correspond au vecteur AB⃗, pas au milieu.)
Exercice 3
Réponse : 10
C’est le théorème de Pythagore : la norme est la longueur de l’hypoténuse d’un triangle rectangle de côtés 6 et 8.
- 6² + 8² = 36 + 64 = 100
- ‖u⃗‖ = √100 = 10
Exercice 4
Réponse : MQ⃗
On enchaîne les vecteurs comme un trajet : de M à N, puis de N à P, puis de P à Q.
- MN⃗ + NP⃗ = MP⃗
- MP⃗ + PQ⃗ = MQ⃗
Exercice 5
Réponse : 1 · 2
On calcule d’abord 2u⃗, puis on ajoute v⃗ coordonnée par coordonnée.
- 2u⃗(2 × 2 ; 2 × (−1)) = (4 ; −2)
- 2u⃗ + v⃗ = (4 + (−3) ; −2 + 4) = (1 ; 2)
Exercice 6
Réponse : -2
On fait le « produit en croix » : abscisse de u⃗ × ordonnée de v⃗, moins abscisse de v⃗ × ordonnée de u⃗.
- xy′ = 2 × 5 = 10
- x′y = 4 × 3 = 12
- det(u⃗, v⃗) = 10 − 12 = −2 (non nul : u⃗ et v⃗ ne sont pas colinéaires).
Exercice 7
Réponse : Vrai
On calcule les coordonnées de AB⃗ et AC⃗, puis leur déterminant.
- AB⃗(2 ; 4) et AC⃗(3 ; 6)
- det(AB⃗, AC⃗) = 2 × 6 − 3 × 4 = 12 − 12 = 0
- Les vecteurs sont colinéaires : A, B et C sont alignés.
Exercice 8
Réponse : (2 ; 3)
On identifie a et b, en faisant attention au signe de b.
- a = 3 et b = −2
- u⃗(−b ; a) = (−(−2) ; 3) = (2 ; 3)
- Vérification : pour aller du point (1 ; 2) de la droite au point (3 ; 5), on se déplace de (2 ; 3) ; et 3 × 3 − 2 × 5 + 1 = 0 ✓
Exercice 9
Réponse : y = 3x − 1
On calcule la pente, puis p. Ici A a pour abscisse 0 : p est directement son ordonnée.
- m = = = 3
- A(0 ; −1) est sur la droite : p = −1
- y = 3x − 1. Vérification avec B : 3 × 2 − 1 = 5 ✓
Exercice 10
Réponse : 3
Leurs pentes (2 et −1) sont différentes, donc elles se coupent. Au point d’intersection, les deux ordonnées sont égales : on résout 2x − 3 = −x + 6.
- 2x − 3 = −x + 6 ⟺ 3x = 9 ⟺ x = 3
- y = 2 × 3 − 3 = 3 (et −3 + 6 = 3 ✓)
- Le point d’intersection est (3 ; 3) : son abscisse est 3.
On reprend les vecteurs (coordonnées, norme, relation de Chasles, colinéarité) puis les équations de droites. Pour chaque exercice, n’hésite pas à placer les points dans un repère au brouillon : un petit dessin permet souvent de vérifier un signe ou un ordre de grandeur.
Exercices corrigés : 0 / 10
Exercice 2 sur 10
QCMRappel : le milieu I de [AB] a pour coordonnées ( ; ).
A(−2 ; 5) et B(4 ; 1). Quelles sont les coordonnées du milieu de [AB] ?Exercice 3 sur 10
CalculRappel : dans un repère orthonormé, la norme de u⃗(x ; y) est ‖u⃗‖ = √(x² + y²).
Calcule la norme du vecteur u⃗(6 ; 8).Exercice 4 sur 10
QCMRappel (relation de Chasles) : AB⃗ + BC⃗ = AC⃗ ; la lettre d’arrivée de l’un est la lettre de départ du suivant.
Simplifie MN⃗ + NP⃗ + PQ⃗.Exercice 5 sur 10
Texte à trousRappel : si u⃗(x ; y) et v⃗(x′ ; y′), alors ku⃗ a pour coordonnées (kx ; ky) et u⃗ + v⃗ a pour coordonnées (x + x′ ; y + y′).
On donne u⃗(2 ; −1) et v⃗(−3 ; 4). Complète.Exercice 6 sur 10
CalculRappel : le déterminant de u⃗(x ; y) et v⃗(x′ ; y′) est det(u⃗, v⃗) = xy′ − x′y.
Calcule det(u⃗, v⃗) pour u⃗(2 ; 3) et v⃗(4 ; 5).Exercice 7 sur 10
Vrai ou fauxRappel : trois points A, B, C sont alignés si et seulement si AB⃗ et AC⃗ sont colinéaires, c’est-à-dire det(AB⃗, AC⃗) = 0.
Affirmation : les points A(0 ; 1), B(2 ; 5) et C(3 ; 7) sont alignés.Exercice 8 sur 10
QCMRappel : la droite d’équation cartésienne ax + by + c = 0 a pour vecteur directeur u⃗(−b ; a).
Lequel de ces vecteurs est un vecteur directeur de la droite 3x − 2y + 1 = 0 ?Exercice 9 sur 10
Réponse à écrireRappel : la pente de (AB) est m = et l’équation réduite s’écrit y = mx + p.
Donne l’équation réduite de la droite passant par A(0 ; −1) et B(2 ; 5).Exercice 10 sur 10
CalculLes droites d : y = 2x − 3 et d′ : y = −x + 6 sont sécantes. Calcule l’abscisse de leur point d’intersection.