Un vecteur décrit un déplacement : une direction, un sens et une longueur. Les vecteurs permettent de démontrer des propriétés géométriques (parallélisme, alignement, milieu) par le calcul, sans figure exacte.
Objectifs
- Caractériser un vecteur et reconnaître deux vecteurs égaux
- Additionner des vecteurs et utiliser la relation de Chasles
- Multiplier un vecteur par un réel
- Utiliser la colinéarité pour prouver un parallélisme ou un alignement
1. Notion de vecteur
Vecteur AB⃗ : Le vecteur AB⃗ est caractérisé par sa direction (celle de la droite (AB)), son sens (de A vers B) et sa norme ‖AB⃗‖ = AB (sa longueur).
- AB⃗ = CD⃗ lorsque ces vecteurs ont même direction, même sens et même norme.
- ABDC est un parallélogramme ⟺ AB⃗ = CD⃗ (attention à l’ordre des lettres ; il peut être aplati).
- Le vecteur nul 0⃗ = AA⃗. Le vecteur opposé de AB⃗ est BA⃗ = −AB⃗.
2. Somme de vecteurs
AB⃗ + BC⃗ = AC⃗
Pour additionner deux vecteurs de même origine A, AB⃗ + AC⃗ = AD⃗ où D est tel que ABDC est un parallélogramme (règle du parallélogramme).
Simplifier AB⃗ − AC⃗
- AB⃗ − AC⃗ = AB⃗ + CA⃗
- = CA⃗ + AB⃗
- = CB⃗ (Chasles)
3. Produit d’un vecteur par un réel
Vecteur k u⃗ : Pour u⃗ ≠ 0⃗ et k ≠ 0, k u⃗ a la même direction que u⃗, le même sens si k > 0, le sens contraire si k < 0, et pour norme |k| × ‖u⃗‖.
- k(u⃗ + v⃗) = k u⃗ + k v⃗ ; (k + k′) u⃗ = k u⃗ + k′ u⃗.
- Si u⃗ et v⃗ ne sont pas colinéaires, tout vecteur w⃗ du plan s’écrit w⃗ = a u⃗ + b v⃗ (a et b réels).
4. Colinéarité et applications
Vecteurs colinéaires : u⃗ et v⃗ sont colinéaires si u⃗ = 0⃗ ou s’il existe un réel k tel que v⃗ = k u⃗. Lorsqu’ils sont non nuls, ils ont alors la même direction.
- (AB) et (CD) sont parallèles ⟺ AB⃗ et CD⃗ sont colinéaires.
- A, B et C sont alignés ⟺ AB⃗ et AC⃗ sont colinéaires.
- I est le milieu de [AB] ⟺ AI⃗ = IB⃗ ⟺ IA⃗ + IB⃗ = 0⃗.
ABC est un triangle, AD⃗ = 3AB⃗ et AE⃗ = 3AC⃗. Montrer que (DE) ∥ (BC).
- DE⃗ = DA⃗ + AE⃗ (Chasles)
- = −3AB⃗ + 3AC⃗ = 3(BA⃗ + AC⃗)
- = 3BC⃗
DE⃗ et BC⃗ sont colinéaires : (DE) ∥ (BC).
À retenir
- Un vecteur : direction, sens, norme.
- ABDC parallélogramme ⟺ AB⃗ = CD⃗.
- Chasles : AB⃗ + BC⃗ = AC⃗.
- Colinéaires : v⃗ = k u⃗ ; sert à prouver parallélisme et alignement.
- I milieu de [AB] ⟺ IA⃗ + IB⃗ = 0⃗.
Et maintenant, à toi !
Vérifie que tu as compris avec les exercices, puis révise avec la fiche.