Depuis l’école primaire, tu as rencontré des nombres de plus en plus variés : entiers, décimaux, fractions, racines carrées, π… En Seconde, on les range dans des ensembles emboîtés et on apprend à décrire des ensembles de réels à l’aide d’intervalles.
Objectifs
- Connaître les ensembles ℕ, ℤ, 𝔻, ℚ et ℝ et leurs inclusions
- Savoir démontrer que {1/3} n’est pas décimal et que √2 est irrationnel
- Représenter un intervalle et utiliser ses notations
- Encadrer et arrondir un nombre réel
1. Les ensembles de nombres
| Ensemble | Description | Exemples |
|---|---|---|
| ℕ : entiers naturels | 0, 1, 2, 3… | 0 ; 7 ; 2 026 |
| ℤ : entiers relatifs | entiers positifs ou négatifs | −4 ; 0 ; 12 |
| 𝔻 : décimaux | nombres de la forme avec a ∈ ℤ et n ∈ ℕ | 0,25 ; −3,1 ; 8 |
| ℚ : rationnels | quotients avec a ∈ ℤ et b entier non nul | ; − ; 0,4 |
| ℝ : réels | toutes les abscisses des points d’une droite graduée | √2 ; π ; −1,5 |
ℕ ⊂ ℤ ⊂ 𝔻 ⊂ ℚ ⊂ ℝ
Nombre irrationnel : Un réel qui n’est pas rationnel est dit irrationnel. Par exemple √2 et π sont irrationnels.
2. Deux démonstrations à connaître
n’est pas un nombre décimal
- Supposons que soit décimal : il existe a ∈ ℤ et n ∈ ℕ tels que = .
- Alors 3a = 10ⁿ, donc 10ⁿ serait un multiple de 3.
- Or la somme des chiffres de 10ⁿ (un 1 suivi de zéros) vaut 1, qui n’est pas divisible par 3 : 10ⁿ n’est pas multiple de 3.
Contradiction : n’est pas décimal.
√2 est irrationnel (raisonnement par l’absurde)
- Supposons √2 = avec p et q entiers positifs et la fraction irréductible.
- Alors p² = 2q² : p² est pair, donc p est pair (car le carré d’un nombre impair est impair). On écrit p = 2k.
- On obtient 4k² = 2q², soit q² = 2k² : q² est pair, donc q est pair.
- p et q sont tous deux pairs : la fraction n’était pas irréductible.
Contradiction : √2 n’est pas rationnel.
3. Les intervalles
Soit a et b deux réels avec a < b. Un intervalle est l’ensemble des réels compris entre deux bornes. Le crochet est tourné vers le nombre s’il est inclus, à l’opposé s’il est exclu.
| Inégalité | Intervalle | Se lit |
|---|---|---|
| a ≤ x ≤ b | [a ; b] | intervalle fermé a b |
| a < x < b | ]a ; b[ | intervalle ouvert a b |
| a ≤ x < b | [a ; b[ | fermé en a, ouvert en b |
| x ≥ a | [a ; +∞[ | a plus l’infini |
| x < b | ]−∞ ; b[ | moins l’infini b |
- Intersection I ∩ J : réels appartenant à I et à J. Exemple : [−1 ; 4] ∩ [2 ; 7] = [2 ; 4].
- Réunion I ∪ J : réels appartenant à I ou à J. Exemple : [−1 ; 4] ∪ [2 ; 7] = [−1 ; 7].
4. Encadrer et arrondir
Encadrement décimal : Encadrer un réel x à 10⁻ⁿ près, c’est trouver deux décimaux d et d + 10⁻ⁿ tels que d ≤ x ≤ d + 10⁻ⁿ (avec n chiffres après la virgule).
Exemple
√2 ≈ 1,414 21… donc 1,41 ≤ √2 ≤ 1,42 est un encadrement à 10⁻² près (d’amplitude 0,01).
- Arrondi à 10⁻ⁿ : on garde n décimales et on regarde le chiffre suivant (0 à 4 : on garde ; 5 à 9 : on augmente d’une unité). π ≈ 3,142 au millième.
- Chiffres significatifs : on compte à partir du premier chiffre non nul. 0,004 567 arrondi à 2 chiffres significatifs donne 0,004 6.
À retenir
- ℕ ⊂ ℤ ⊂ 𝔻 ⊂ ℚ ⊂ ℝ.
- est rationnel mais pas décimal ; √2 et π sont irrationnels.
- [a ; b] : bornes incluses ; ]a ; b[ : bornes exclues ; crochet toujours ouvert en ±∞.
- I ∩ J : « et » ; I ∪ J : « ou ».
- Un arrondi se fait au rang demandé ou au nombre de chiffres significatifs demandé.
Et maintenant, à toi !
Vérifie que tu as compris avec les exercices, puis révise avec la fiche.