Exercices : la valeur absolue et les distances

Exercice 1

Réponse : 17

On calcule chaque valeur absolue séparément.

1. |−12| = 12
2. |4 − 9| = |−5| = 5
3. 12 + 5 = 17

Exercice 2

Réponse : π − 3

π ≈ 3,14 > 3, donc 3 − π est négatif. Sa valeur absolue est son opposé : −(3 − π) = π − 3.

Exercice 3

Réponse : 8

La distance entre a et b est |a − b|.

1. |5 − (−3)| = |5 + 3| = 8

Exercice 4

Réponse : [−1 ; 5]

x doit être à une distance au plus 3 de 2.

1. 2 − 3 = −1 et 2 + 3 = 5
2. Inégalité large : bornes incluses.
3. S = [−1 ; 5]

Exercice 5

Réponse : -2

x est à la distance 6 de 4.

1. x = 4 − 6 = −2 ou x = 4 + 6 = 10
2. La plus petite solution est −2.

Exercice 6

Réponse : Faux

Contre-exemple : a = −5. √((−5)²) = √25 = 5 ≠ −5. La bonne formule est √(a²) = |a|.

Exercice 7

Réponse : |x − 5| ≤ 4

On cherche le centre (milieu) et le rayon (demi-longueur) de l’intervalle.

1. Centre : (1 + 9) / 2 = 5
2. Rayon : (9 − 1) / 2 = 4
3. [1 ; 9] ⟺ |x − 5| ≤ 4

Exercice 8

Réponse : Faux

Contre-exemple : a = 1 et b = −1. |1 + (−1)| = 0 alors que |1| + |−1| = 2. L’égalité est vraie si et seulement si a et b sont de même signe (ou si l’un des deux est nul).

Exercice 9

Exemple de réponse : |x + 1| = |x − (−1)| : c’est la distance entre x et −1.
On cherche les x à une distance strictement inférieure à 2 de −1.
−1 − 2 = −3 et −1 + 2 = 1.
S = ]−3 ; 1[ (bornes exclues car l’inégalité est stricte).

Le piège est le centre : x + 1 = x − (−1), donc le centre est −1.

• Centre −1 bien identifié.
• Bornes −3 et 1.
• Crochets ouverts (inégalité stricte).