Pour raisonner juste, les mathématiciens utilisent un langage précis : celui des ensembles et de la logique. Ces notions ne forment pas un chapitre isolé : elles servent dans tous les autres (intervalles, équations, probabilités, démonstrations).
Objectifs
- Utiliser les symboles ∈, ⊂, ∩, ∪, ∅ et la notion de complémentaire
- Décrire un produit cartésien de deux ensembles
- Distinguer une implication, sa réciproque et sa contraposée
- Utiliser un contre-exemple et les expressions « condition nécessaire » et « condition suffisante »
1. Ensembles
| Notation | Signification | Exemple |
|---|---|---|
| x ∈ A | x appartient à A | 3 ∈ ℕ |
| A ⊂ B | A est inclus dans B (tout élément de A est dans B) | ℕ ⊂ ℤ |
| A ∩ B | éléments communs à A et à B | [1 ; 5] ∩ [3 ; 8] = [3 ; 5] |
| A ∪ B | éléments de A ou de B (ou des deux) | [1 ; 5] ∪ [3 ; 8] = [1 ; 8] |
| ∅ | ensemble vide (aucun élément) | [0 ; 1] ∩ [2 ; 3] = ∅ |
Complémentaire : Si A est une partie d’un ensemble E, le complémentaire de A dans E, noté Ā, est l’ensemble des éléments de E qui ne sont pas dans A.
Produit cartésien : Le produit cartésien A × B est l’ensemble des couples (a ; b) avec a ∈ A et b ∈ B. L’ordre compte : (1 ; 2) ≠ (2 ; 1).
Exemple
A = {1 ; 2 ; 3} et B = {p ; f}. A × B contient 3 × 2 = 6 couples : (1 ; p), (1 ; f), (2 ; p), (2 ; f), (3 ; p), (3 ; f). Le plan muni d’un repère s’identifie à ℝ × ℝ.
2. Implication, réciproque, contraposée
Une implication « si P, alors Q » se note P ⟹ Q. Elle est fausse seulement lorsque P est vraie et Q fausse.
| Énoncé | Forme | Exemple |
|---|---|---|
| Implication | P ⟹ Q | si n est multiple de 4, alors n est pair (vrai) |
| Réciproque | Q ⟹ P | si n est pair, alors n est multiple de 4 (faux : 6) |
| Contraposée | non Q ⟹ non P | si n est impair, alors n n’est pas multiple de 4 (vrai) |
3. Conditions et contre-exemple
- Si P ⟹ Q est vraie, on dit que P est une condition suffisante pour Q, et que Q est une condition nécessaire pour P.
- Exemple : « être un carré » est une condition suffisante pour « être un rectangle » ; « être un rectangle » est une condition nécessaire pour « être un carré ».
- Négation : la négation de « x > 3 » est « x ≤ 3 » ; la négation de « P et Q » est « non P ou non Q ».
Montrer qu’un énoncé général est faux : le contre-exemple
- Énoncé : « pour tout réel x, x² ≥ x ».
- Pour x = 0,5 : x² = 0,25 et 0,25 < 0,5.
Un seul contre-exemple suffit : l’énoncé est faux.
À retenir
- ∈ : appartenance d’un élément ; ⊂ : inclusion d’un ensemble.
- ∩ : « et » ; ∪ : « ou » ; ∅ : ensemble vide ; Ā : complémentaire.
- A × B : ensemble des couples (a ; b).
- Une implication et sa contraposée ont la même valeur de vérité ; pas forcément sa réciproque.
- Un contre-exemple suffit pour prouver qu’un énoncé général est faux.
Et maintenant, à toi !
Vérifie que tu as compris avec les exercices, puis révise avec la fiche.