Sur une droite graduée, −3 et 3 sont à la même distance de 0. La valeur absolue d’un nombre mesure justement cette distance à 0, sans tenir compte du signe. Elle permet aussi de calculer la distance entre deux nombres.
Objectifs
- Calculer la valeur absolue d’un réel
- Interpréter |a − b| comme une distance
- Résoudre |x − a| = r et |x − a| ≤ r
- Passer d’un intervalle à une écriture avec une valeur absolue
1. Définition
Valeur absolue : La valeur absolue d’un réel a, notée |a|, est la distance entre a et 0 sur une droite graduée :
|a| = a si a ≥ 0 ; |a| = −a si a < 0.
Exemple
- |7| = 7
- |−7| = −(−7) = 7
- |0| = 0
- |3 − π| = π − 3, car 3 − π < 0
- Pour tout réel a : |a| ≥ 0 et |−a| = |a|.
- |a| = 0 ⟺ a = 0.
- Pour tout réel a : √(a²) = |a|.
2. Distance entre deux réels
Distance : La distance entre deux réels a et b est |a − b| (ou |b − a|, c’est la même chose). C’est la longueur du segment qui joint leurs points sur la droite graduée.
Distance entre −3 et 5
- |5 − (−3)| = |8| = 8
- ou |−3 − 5| = |−8| = 8
3. Équations et inéquations avec une valeur absolue
Soit a un réel et r un réel strictement positif. |x − a| est la distance entre x et a. On raisonne donc sur la droite graduée autour du « centre » a.
| Écriture | Traduction | Solutions |
|---|---|---|
| |x − a| = r | x est à la distance r de a | x = a − r ou x = a + r |
| |x − a| ≤ r | x est à une distance au plus r de a | x ∈ [a − r ; a + r] |
| |x − a| < r | distance strictement inférieure à r | x ∈ ]a − r ; a + r[ |
Résoudre |x − 2| ≤ 3
- Centre a = 2, rayon r = 3.
- a − r = −1 et a + r = 5.
S = [−1 ; 5]
À retenir
- |a| = a si a ≥ 0, et |a| = −a si a < 0.
- |a − b| est la distance entre a et b.
- |x − a| = r ⟺ x = a − r ou x = a + r.
- |x − a| ≤ r ⟺ x ∈ [a − r ; a + r].
- √(a²) = |a|.
Et maintenant, à toi !
Vérifie que tu as compris avec les exercices, puis révise avec la fiche.