Les fonctions affines sont les fonctions dont la courbe est une droite. Elles modélisent toutes les situations où une grandeur varie de façon régulière.
Objectifs
- Reconnaître une fonction affine
- Interpréter le coefficient directeur et l’ordonnée à l’origine
- Déterminer une fonction affine à partir de deux points
- Étudier le sens de variation et le signe
1. Définition
Fonction affine : Une fonction f définie sur ℝ est affine s’il existe deux réels m et p tels que, pour tout réel x, f(x) = mx + p.
- Si p = 0, f(x) = mx : f est linéaire (cas particulier de fonction affine).
- Si m = 0, f(x) = p : f est constante.
Exemple
- f(x) = 3x − 2 est affine (m = 3, p = −2).
- g(x) = −x est linéaire (m = −1, p = 0).
- h(x) = x² + 1 n’est pas affine.
2. Représentation graphique
La courbe d’une fonction affine est une droite d’équation y = mx + p.
- p est l’ordonnée à l’origine : la droite coupe l’axe des ordonnées au point (0 ; p).
- m est le coefficient directeur (ou pente) : quand x augmente de 1, f(x) augmente de m.
m =
3. Déterminer une fonction affine
f est affine, f(1) = 3 et f(4) = 9. Déterminer f.
- m = = = 2
- f(1) = 2 × 1 + p = 3, donc p = 1
f(x) = 2x + 1
4. Sens de variation et signe
| Coefficient directeur | Sens de variation |
|---|---|
| m > 0 | f est strictement croissante |
| m = 0 | f est constante |
| m < 0 | f est strictement décroissante |
Si m ≠ 0, f(x) = 0 a pour unique solution x = −p/m. La fonction change de signe en ce point : elle est du signe de m à droite de −p/m, et du signe contraire à gauche.
Signe de f(x) = 2x − 6
- 2x − 6 = 0 ⟺ x = 3
- m = 2 > 0 : f(x) < 0 pour x < 3, et f(x) > 0 pour x > 3
À retenir
- f(x) = mx + p ; sa courbe est une droite.
- p : ordonnée à l’origine ; m : coefficient directeur.
- m = (f(b) − f(a)) / (b − a).
- m > 0 : croissante ; m < 0 : décroissante.
- f(x) = 0 ⟺ x = −p/m (si m ≠ 0).
Et maintenant, à toi !
Vérifie que tu as compris avec les exercices, puis révise avec la fiche.