Dans un repère, une droite est l’ensemble des points dont les coordonnées vérifient une équation. On en utilise deux formes : l’équation cartésienne ax + by + c = 0, liée à un vecteur directeur, et l’équation réduite y = mx + p, liée à la pente.
Objectifs
- Déterminer un vecteur directeur d’une droite
- Établir une équation cartésienne et l’équation réduite d’une droite
- Lire et calculer la pente d’une droite
- Étudier le parallélisme et l’intersection de deux droites
1. Vecteur directeur et équation cartésienne
Vecteur directeur : Un vecteur directeur d’une droite d est un vecteur non nul u⃗ dont la direction est celle de d. Si A et B sont deux points distincts de d, AB⃗ est un vecteur directeur.
Soit d la droite passant par A et dirigée par u⃗. Un point M est sur d ⟺ AM⃗ et u⃗ sont colinéaires ⟺ det(AM⃗, u⃗) = 0. En développant, on obtient une équation de la forme ax + by + c = 0 avec (a ; b) ≠ (0 ; 0).
ax + by + c = 0 a pour vecteur directeur u⃗(−b ; a)
Droite passant par A(1 ; −2) et dirigée par u⃗(3 ; 1)
- M(x ; y) : AM⃗(x − 1 ; y + 2).
- det(AM⃗, u⃗) = (x − 1) × 1 − 3 × (y + 2) = x − 1 − 3y − 6.
- x − 3y − 7 = 0
Une équation cartésienne est x − 3y − 7 = 0.
2. Équation réduite et pente
- Une droite non parallèle à l’axe des ordonnées a une unique équation réduite y = mx + p : m est la pente (coefficient directeur), p l’ordonnée à l’origine. Un vecteur directeur est (1 ; m).
- Une droite parallèle à l’axe des ordonnées a une équation de la forme x = c.
m =
Droite passant par A(1 ; 2) et B(3 ; 8)
- m = = = 3
- A est sur la droite : 2 = 3 × 1 + p, donc p = −1.
y = 3x − 1
Passer de l’équation cartésienne à l’équation réduite
- 4x + 2y − 6 = 0
- 2y = −4x + 6
- y = −2x + 3
3. Parallélisme et intersection
- Deux droites sont parallèles ⟺ leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.
- Deux droites non verticales sont parallèles ⟺ elles ont la même pente.
Intersection de d : y = 2x + 1 et d′ : y = −x + 7
- Les pentes 2 et −1 sont différentes : les droites sont sécantes.
- Au point d’intersection : 2x + 1 = −x + 7, donc 3x = 6 et x = 2.
- y = 2 × 2 + 1 = 5.
Le point d’intersection est I(2 ; 5).
À retenir
- ax + by + c = 0 : vecteur directeur (−b ; a).
- M ∈ d ⟺ det(AM⃗, u⃗) = 0.
- y = mx + p : pente m, vecteur directeur (1 ; m) ; droite verticale : x = c.
- m = .
- Parallèles ⟺ même pente (ou vecteurs directeurs colinéaires).
Et maintenant, à toi !
Vérifie que tu as compris avec les exercices, puis révise avec la fiche.