Dans un repère, chaque vecteur se décrit par deux nombres : ses coordonnées. Les questions de géométrie (longueur, milieu, parallélisme, alignement) se ramènent alors à des calculs simples, en particulier grâce au déterminant.
Objectifs
- Calculer les coordonnées d’un vecteur AB⃗, d’une somme et d’un produit par un réel
- Calculer une norme et une distance dans un repère orthonormé
- Calculer les coordonnées d’un milieu
- Utiliser le déterminant pour tester la colinéarité, le parallélisme ou l’alignement
1. Coordonnées d’un vecteur
Dans un repère (O ; i⃗, j⃗), le vecteur u⃗ a pour coordonnées (x ; y) lorsque u⃗ = x i⃗ + y j⃗. Le repère est orthonormé si i⃗ et j⃗ sont orthogonaux et de norme 1.
AB⃗(xB − xA ; yB − yA)
- Si u⃗(x ; y) et v⃗(x′ ; y′) : u⃗ + v⃗ a pour coordonnées (x + x′ ; y + y′).
- k u⃗ a pour coordonnées (kx ; ky).
- u⃗ = v⃗ ⟺ x = x′ et y = y′.
A(2 ; −1) et B(5 ; 3)
- AB⃗(5 − 2 ; 3 − (−1)) = AB⃗(3 ; 4)
2. Norme, distance et milieu
‖u⃗‖ = √(x² + y²)
AB = √((xB − xA)² + (yB − yA)²)
Exemple
Avec AB⃗(3 ; 4) : AB = √(9 + 16) = √25 = 5.
I( ; )
3. Déterminant et colinéarité
Déterminant : Le déterminant de u⃗(x ; y) et v⃗(x′ ; y′) est le nombre det(u⃗, v⃗) = xy′ − x′y.
u⃗ et v⃗ colinéaires ⟺ det(u⃗, v⃗) = 0
Idée de la démonstration (u⃗ non nul, par exemple x ≠ 0)
- Si v⃗ = k u⃗, alors x′ = kx et y′ = ky, donc xy′ − x′y = x × ky − kx × y = 0.
- Réciproquement, si xy′ − x′y = 0, on pose k = : alors x′ = kx et y′ = = ky, donc v⃗ = k u⃗.
A(1 ; 1), B(3 ; 5), C(4 ; 7) sont-ils alignés ?
- AB⃗(2 ; 4) et AC⃗(3 ; 6)
- det(AB⃗, AC⃗) = 2 × 6 − 3 × 4 = 12 − 12 = 0
AB⃗ et AC⃗ sont colinéaires : A, B et C sont alignés.
À retenir
- AB⃗(xB − xA ; yB − yA).
- En repère orthonormé : ‖u⃗‖ = √(x² + y²).
- Milieu : moyenne des abscisses, moyenne des ordonnées.
- det(u⃗, v⃗) = xy′ − x′y ; colinéaires ⟺ det = 0.
Et maintenant, à toi !
Vérifie que tu as compris avec les exercices, puis révise avec la fiche.