Retravailler · Mathématiques Terminale
10 exercices progressifs, des bases jusqu’au niveau attendu, avec une correction détaillée.
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Kit de remédiation
Prénom : ……………………………Date : ……………………Score : ……… / 10
Exercice 1 — Coche « Vrai » ou « Faux ».
Rappel : pour une succession d’épreuves indépendantes, la probabilité d’une liste de résultats est le produit des probabilités.
On lance deux fois une pièce équilibrée. Vrai ou faux : la probabilité d’obtenir deux fois « pile » est .
VraiFaux
Exercice 2
On lance trois fois une pièce équilibrée. Calcule la probabilité d’obtenir trois fois « face » (écriture décimale).
Écris tes calculs :
Réponse : ………………
Exercice 3 — Coche la bonne réponse.
Rappel : X suit une loi binomiale B(n ; p) lorsque X compte le nombre de succès dans n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, de probabilité de succès p.
Laquelle de ces variables aléatoires suit une loi binomiale ?
Exercice 4
Rappel : si X suit B(n ; p), P(X = 0) = (1 − p)ⁿ (aucun succès).
X suit la loi binomiale B(3 ; 0,2). Calcule P(X = 0).
Écris tes calculs :
Réponse : ………………
Exercice 5
Rappel : P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0) (événement contraire).
Avec la même variable X qui suit B(3 ; 0,2), calcule P(X ≥ 1).
Écris tes calculs :
Réponse : ………………
Exercice 6
Rappel : si X suit B(n ; p), alors E(X) = np.
X suit la loi binomiale B(20 ; 0,3). Calcule E(X).
Écris tes calculs :
Réponse : ………………
Exercice 7
Rappel : E(aX + b) = aE(X) + b.
On sait que E(X) = 4. Calcule E(Y) pour Y = 3X − 2.
Écris tes calculs :
Réponse : ………………
Exercice 8
Rappel : V(aX + b) = a²V(X).
On sait que V(X) = 2. Calcule V(Y) pour Y = 3X − 2.
Écris tes calculs :
Réponse : ………………
Exercice 9
Rappel : si X₁, …, Xn sont indépendantes et ont la même loi de variance V, la moyenne Mn = a pour variance .
On prend un échantillon de taille n = 25 d’une variable de variance V = 4. Calcule V(M25).
Écris tes calculs :
Réponse : ………………
Exercice 10
Rappel (inégalité de Bienaymé-Tchebychev) : pour tout réel δ > 0, P(|X − E(X)| ≥ δ) ≤ .
X vérifie E(X) = 20 et V(X) = 9. Donne le majorant de P(|X − 20| ≥ 6) fourni par cette inégalité.
Écris tes calculs :
Réponse : ………………
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Corrigé détaillé — pour les parents et les enseignants
Exercice 1
Réponse : Faux
Les deux lancers sont indépendants : on multiplie les probabilités.
Exercice 2
Réponse : 0,125
Trois épreuves indépendantes : on multiplie trois fois .
Exercice 3
Réponse : Le nombre de 6 obtenus en lançant 10 fois un dé équilibré.
On répète 10 fois, de façon indépendante, la même épreuve à deux issues (« obtenir 6 » ou non), et on compte les succès.
Exercice 4
Réponse : 0,512
Aucun succès signifie trois échecs, chacun de probabilité 1 − 0,2 = 0,8.
Exercice 5
Réponse : 0,488
« Au moins un succès » est le contraire de « aucun succès » : c’est souvent le calcul le plus rapide.
Exercice 6
Réponse : 6
L’espérance d’une loi binomiale est le nombre d’épreuves multiplié par la probabilité de succès.
Exercice 7
Réponse : 10
L’espérance est linéaire : on applique la même transformation affine à E(X).
Exercice 8
Réponse : 18
Le coefficient a est élevé au carré, et la constante b ne change pas la variance (décaler toutes les valeurs ne change pas leur dispersion).
Exercice 9
Réponse : 0,16
La moyenne d’un échantillon a la même espérance que chaque variable, mais une variance divisée par n : elle est moins dispersée.
Exercice 10
Réponse : 0,25
On remplace V(X) par 9 et δ par 6 dans la formule.
Ces exercices reprennent les probabilités de Terminale : épreuves indépendantes, loi binomiale, espérance et variance, sommes de variables aléatoires et inégalités de concentration. Chaque énoncé rappelle la formule à utiliser ; l’important est de savoir reconnaître la situation.
Rappel : pour une succession d’épreuves indépendantes, la probabilité d’une liste de résultats est le produit des probabilités.
On lance deux fois une pièce équilibrée. Vrai ou faux : la probabilité d’obtenir deux fois « pile » est .
On lance trois fois une pièce équilibrée. Calcule la probabilité d’obtenir trois fois « face » (écriture décimale).
Rappel : X suit une loi binomiale B(n ; p) lorsque X compte le nombre de succès dans n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, de probabilité de succès p.
Laquelle de ces variables aléatoires suit une loi binomiale ?
Rappel : si X suit B(n ; p), P(X = 0) = (1 − p)ⁿ (aucun succès).
X suit la loi binomiale B(3 ; 0,2). Calcule P(X = 0).
Rappel : P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0) (événement contraire).
Avec la même variable X qui suit B(3 ; 0,2), calcule P(X ≥ 1).
Rappel : si X suit B(n ; p), alors E(X) = np.
X suit la loi binomiale B(20 ; 0,3). Calcule E(X).
Rappel : E(aX + b) = aE(X) + b.
On sait que E(X) = 4. Calcule E(Y) pour Y = 3X − 2.
Rappel : V(aX + b) = a²V(X).
On sait que V(X) = 2. Calcule V(Y) pour Y = 3X − 2.
Rappel : si X₁, …, Xn sont indépendantes et ont la même loi de variance V, la moyenne Mn = a pour variance .
On prend un échantillon de taille n = 25 d’une variable de variance V = 4. Calcule V(M25).
Rappel (inégalité de Bienaymé-Tchebychev) : pour tout réel δ > 0, P(|X − E(X)| ≥ δ) ≤ .
X vérifie E(X) = 20 et V(X) = 9. Donne le majorant de P(|X − 20| ≥ 6) fourni par cette inégalité.
