Pourquoi la fréquence de « pile » se rapproche-t-elle de 0,5 quand on lance une pièce un très grand nombre de fois ? La loi des grands nombres le justifie. Pour y arriver, on majore la probabilité qu’une variable s’écarte de son espérance grâce à l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
Une question sur ce cours ?
ULU, le tuteur d’ULUMINE, t’aide à partir de ce cours.
Objectifs
- Appliquer l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev
- Appliquer l’inégalité de concentration à la moyenne d’un échantillon
- Déterminer une taille d’échantillon suffisante
- Comprendre et interpréter la loi faible des grands nombres
1. Inégalité de Bienaymé-Tchebychev
P(|X − E(X)| ≥ δ) ≤
- Par passage au contraire : P(|X − E(X)| < δ) ≥ 1 − .
- Avec δ = kσ : P(|X − E(X)| ≥ kσ) ≤ . Par exemple, la probabilité de s’écarter de l’espérance d’au moins 2σ est au plus .
E(X) = 50 et V(X) = 25 : minorer P(40 < X < 60)
- 40 < X < 60 ⟺ |X − 50| < 10
- P(|X − 50| < 10) ≥ 1 − = 1 − 0,25
P(40 < X < 60) ≥ 0,75
2. Inégalité de concentration
Soit (X₁, …, Xn) un échantillon d’une variable X d’espérance μ et de variance V, et Mn = sa moyenne. On a E(Mn) = μ et V(Mn) = , donc :
P(|Mn − μ| ≥ δ) ≤
Pièce équilibrée lancée 1 000 fois (X de Bernoulli, p = 0,5)
- V = 0,5 × 0,5 = 0,25 ; on prend δ = 0,05.
- = = 0,1
La fréquence de pile s’écarte de 0,5 d’au moins 0,05 avec une probabilité au plus 0,1.
3. Loi faible des grands nombres
lim P(|Mn − μ| ≥ δ) = 0 quand n → +∞
Plus l’échantillon est grand, plus il est probable que la moyenne observée soit proche de l’espérance. Cela justifie l’estimation d’une probabilité par une fréquence observée sur un grand nombre d’expériences (simulations).
À retenir
- Bienaymé-Tchebychev : P(|X − E(X)| ≥ δ) ≤ .
- Concentration : P(|Mn − μ| ≥ δ) ≤ .
- Loi des grands nombres : cette probabilité tend vers 0 quand n → +∞.
- Pour trouver une taille d’échantillon, on résout ≤ seuil.
Et maintenant, à toi !
Vérifie que tu as compris avec les exercices, puis révise avec la fiche.