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Exercices : concentration et loi des grands nombres

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Concentration et loi des grands nombres — S’entraîner

Feuille d’exercices

Prénom : ……………………………Date : ……………………Score : ……… / 8

Commence toujours par identifier E(X), V(X) et δ.

Exercice 1
X a pour variance 4. Donne le majorant de P(|X − E(X)| ≥ 5) fourni par l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
Écris tes calculs :
Réponse : ………………
Exercice 2 — Coche la bonne réponse.
Laquelle de ces inégalités découle de l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev (δ > 0) ?
- P(|X − E(X)| < δ) ≥ 1 −
- P(|X − E(X)| < δ) ≤
- P(|X − E(X)| ≥ δ) ≥
- P(|X − E(X)| ≥ δ) ≤
Exercice 3
E(X) = 50 et V(X) = 25. Donne le minorant de P(40 < X < 60) obtenu par l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
Écris tes calculs :
Réponse : ………………
Exercice 4
On lance 1 000 fois une pièce équilibrée et on note M_n la fréquence de pile. Donne le majorant de P(|M_n − 0,5| ≥ 0,05) fourni par l’inégalité de concentration.
Écris tes calculs :
Réponse : ………………
Exercice 5
Une variable X a pour variance 0,25. Quelle taille minimale n d’échantillon garantit, d’après l’inégalité de concentration, que P(|M_n − μ| ≥ 0,1) ≤ 0,05 ?
Écris tes calculs :
Réponse : ………………
Exercice 6 — Coche « Vrai » ou « Faux ».
D’après la loi des grands nombres, pour n assez grand, la moyenne M_n d’un échantillon est égale à l’espérance μ.
VraiFaux
Exercice 7 — Coche « Vrai » ou « Faux ».
L’inégalité de Bienaymé-Tchebychev fournit toujours une information utile.
VraiFaux
Exercice 8
On lance un dé équilibré un très grand nombre de fois. Explique, à l’aide de la loi des grands nombres, pourquoi la fréquence d’apparition du 6 est « proche » de , et précise ce que signifie « proche ».

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Concentration et loi des grands nombres — S’entraîner

Corrigé détaillé — pour les parents et les enseignants

Exercice 1
Réponse : 0,16
= = = 0,16.
Exercice 2
Réponse : P(|X − E(X)| < δ) ≥ 1 −
L’événement |X − E(X)| < δ est le contraire de |X − E(X)| ≥ δ, donc sa probabilité est au moins 1 − .
Exercice 3
Réponse : 0,75
40 < X < 60 ⟺ |X − 50| < 10.
1. P(|X − 50| < 10) ≥ 1 − = 0,75
Exercice 4
Réponse : 0,1
La variable de Bernoulli de paramètre 0,5 a pour variance V = 0,25.
1. =
2. = = 0,1
Exercice 5
Réponse : 500
On impose que le majorant soit inférieur ou égal à 0,05.
1. ≤ 0,05 ⟺ ≤ 0,05
2. ⟺ n ≥ = 500
Exercice 6
Réponse : Faux
Elle affirme seulement que la probabilité d’un écart d’au moins δ entre M_n et μ tend vers 0. M_n reste aléatoire et peut différer de μ.
Exercice 7
Réponse : Faux
Si δ² ≤ V(X), le majorant est supérieur ou égal à 1 : on sait déjà qu’une probabilité est au plus 1, l’inégalité n’apporte rien.
Exercice 8
Exemple de réponse : On note X_i = 1 si le i-ème lancer donne 6, et 0 sinon. Les X_i forment un échantillon de la loi de Bernoulli de paramètre , d’espérance μ = . La fréquence du 6 est la moyenne M_n.
D’après la loi des grands nombres, pour tout δ > 0, P(|M_n − | ≥ δ) tend vers 0 quand n → +∞.
« Proche » signifie donc : pour un écart δ fixé, aussi petit soit-il, la probabilité que la fréquence s’écarte de d’au moins δ devient aussi petite qu’on veut quand n est grand. Cela ne garantit pas que la fréquence vaut exactement .
La loi des grands nombres est un résultat sur des probabilités d’écart, pas une certitude sur chaque série de lancers.
- Tu as modélisé la fréquence comme la moyenne d’un échantillon de Bernoulli.
- Tu as énoncé la loi des grands nombres.
- Tu as précisé le sens probabiliste de « proche ».

Commence toujours par identifier E(X), V(X) et δ.

Exercices corrigés : 0 / 8

Exercice 1 sur 8
Calcul
X a pour variance 4. Donne le majorant de P(|X − E(X)| ≥ 5) fourni par l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
Ta réponse
Aide d’ULU pour cet exercice
Exercice 2 sur 8
QCM
Laquelle de ces inégalités découle de l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev (δ > 0) ?
Choisis une réponse
P(|X − E(X)| < δ) ≥ 1 − P(|X − E(X)| < δ) ≤ P(|X − E(X)| ≥ δ) ≥ P(|X − E(X)| ≥ δ) ≤
Aide d’ULU pour cet exercice
Exercice 3 sur 8
Calcul
E(X) = 50 et V(X) = 25. Donne le minorant de P(40 < X < 60) obtenu par l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
Ta réponse
Aide d’ULU pour cet exercice
Exercice 4 sur 8
Calcul
On lance 1 000 fois une pièce équilibrée et on note M_n la fréquence de pile. Donne le majorant de P(|M_n − 0,5| ≥ 0,05) fourni par l’inégalité de concentration.
Ta réponse
Aide d’ULU pour cet exercice
Exercice 5 sur 8
Calcul
Une variable X a pour variance 0,25. Quelle taille minimale n d’échantillon garantit, d’après l’inégalité de concentration, que P(|M_n − μ| ≥ 0,1) ≤ 0,05 ?
Ta réponse
Aide d’ULU pour cet exercice
Exercice 6 sur 8
Vrai ou faux
D’après la loi des grands nombres, pour n assez grand, la moyenne M_n d’un échantillon est égale à l’espérance μ.
Vrai ou faux ?
VraiFaux
Aide d’ULU pour cet exercice
Exercice 7 sur 8
Vrai ou faux
L’inégalité de Bienaymé-Tchebychev fournit toujours une information utile.
Vrai ou faux ?
VraiFaux
Aide d’ULU pour cet exercice
Exercice 8 sur 8
Question ouverte
On lance un dé équilibré un très grand nombre de fois. Explique, à l’aide de la loi des grands nombres, pourquoi la fréquence d’apparition du 6 est « proche » de , et précise ce que signifie « proche ».
Ta réponse
Aide d’ULU pour cet exercice

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