Le gain total sur plusieurs parties, la somme de plusieurs lancers de dé, la moyenne de mesures répétées : on additionne des variables aléatoires. Ce chapitre donne des règles simples pour obtenir l’espérance et la variance d’une somme sans déterminer sa loi complète.
Une question sur ce cours ?
ULU, le tuteur d’ULUMINE, t’aide à partir de ce cours.
Objectifs
- Calculer l’espérance et la variance de aX + b
- Utiliser la linéarité de l’espérance
- Calculer la variance d’une somme de variables indépendantes
- Étudier la somme et la moyenne d’un échantillon
1. Transformation affine
Pour une variable aléatoire X et des réels a et b :
E(aX + b) = aE(X) + b et V(aX + b) = a²V(X)
2. Somme de deux variables aléatoires
- Linéarité de l’espérance : E(X + Y) = E(X) + E(Y), toujours.
- Si X et Y sont indépendantes : V(X + Y) = V(X) + V(Y).
Somme de deux dés équilibrés indépendants
- Pour un dé : E = 3,5 et V = .
- E(X + Y) = 3,5 + 3,5 = 7
- V(X + Y) = + = ≈ 5,83
3. Échantillon d’une loi
Échantillon : Un échantillon de taille n d’une loi est une liste (X₁, X₂, …, Xn) de variables aléatoires indépendantes suivant toutes cette même loi.
| Variable | Espérance | Variance | Écart type |
|---|---|---|---|
| Somme Sn = X₁ + … + Xn | nμ | nV | √n × σ |
| Moyenne Mn = | μ |
À retenir
- E(aX + b) = aE(X) + b ; V(aX + b) = a²V(X).
- E(X + Y) = E(X) + E(Y) dans tous les cas.
- V(X + Y) = V(X) + V(Y) si X et Y sont indépendantes.
- Moyenne d’un échantillon de taille n : même espérance, variance divisée par n.
Et maintenant, à toi !
Vérifie que tu as compris avec les exercices, puis révise avec la fiche.