Mathématiques · Terminale

Exercices : sommes de variables aléatoires

22 exercices avec correction détaillée, en 3 séries. Aucune inscription : ta progression reste sur ton appareil.

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Sommes de variables aléatoires — S’entraîner

Feuille d’exercices

Prénom : ……………………………Date : ……………………Score : ……… / 8

Précise à chaque fois si tu utilises l’hypothèse d’indépendance.

Exercice 1
E(X) = 5. Calcule E(3X − 2).
Écris tes calculs :
Réponse : ………………
Exercice 2
V(X) = 4. Calcule V(3X − 2).
Écris tes calculs :
Réponse : ………………
Exercice 3
E(X) = 2 et E(Y) = 7. Calcule E(X + Y).
Écris tes calculs :
Réponse : ………………
Exercice 4 — Coche « Vrai » ou « Faux ».
Pour toutes variables aléatoires X et Y, V(X + Y) = V(X) + V(Y).
VraiFaux
Exercice 5
On lance 10 dés équilibrés à 6 faces. Quelle est l’espérance de la somme des faces obtenues ?
Écris tes calculs :
Réponse : ………………
Exercice 6
Pour un dé équilibré, V = . Calcule la variance de la somme de deux dés indépendants, arrondie au centième.
Écris tes calculs :
Réponse : ………………
Exercice 7
Une variable X a pour écart type σ = 6. Quel est l’écart type de la moyenne M d’un échantillon de taille 36 de la loi de X ?
Écris tes calculs :
Réponse : ………………
Exercice 8
Soit X une variable de loi B(n ; p). En écrivant X comme somme de variables de Bernoulli, retrouve E(X) et V(X).

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Sommes de variables aléatoires — S’entraîner

Corrigé détaillé — pour les parents et les enseignants

Exercice 1
Réponse : 13
E(3X − 2) = 3E(X) − 2 = 15 − 2 = 13.
Exercice 2
Réponse : 36
V(aX + b) = a²V(X) : V(3X − 2) = 9 × 4 = 36. La constante −2 n’intervient pas.
Exercice 3
Réponse : 9
Linéarité de l’espérance (valable même sans indépendance) : E(X + Y) = 2 + 7 = 9.
Exercice 4
Réponse : Faux
Cette égalité nécessite l’indépendance. Contre-exemple : Y = X donne V(2X) = 4V(X), différent de 2V(X) dès que V(X) > 0.
Exercice 5
Réponse : 35
Pour un dé, E = = 3,5. Par linéarité, l’espérance de la somme est 10 × 3,5 = 35.
Exercice 6
Réponse : 5,83
Les dés sont indépendants : les variances s’additionnent.
1. + = ≈ 5,833
2. Arrondi : 5,83
Exercice 7
Réponse : 1
σ(M) = = = = 1.
Exercice 8
Exemple de réponse : On note X_i la variable qui vaut 1 si la i-ème épreuve est un succès, 0 sinon. Les X_i sont indépendantes et suivent la loi de Bernoulli de paramètre p : E(X_i) = p et V(X_i) = p(1 − p).
X = X₁ + X₂ + … + X_n.
Par linéarité : E(X) = np.
Par indépendance : V(X) = np(1 − p).
Décomposer une variable en somme de variables simples est une méthode très efficace.
- Tu as défini les variables de Bernoulli X_i.
- Tu as utilisé la linéarité pour l’espérance.
- Tu as invoqué l’indépendance pour la variance.

Précise à chaque fois si tu utilises l’hypothèse d’indépendance.

Exercices corrigés : 0 / 8

Exercice 1 sur 8
Calcul
E(X) = 5. Calcule E(3X − 2).
Ta réponse
Aide d’ULU pour cet exercice
Exercice 2 sur 8
Calcul
V(X) = 4. Calcule V(3X − 2).
Ta réponse
Aide d’ULU pour cet exercice
Exercice 3 sur 8
Calcul
E(X) = 2 et E(Y) = 7. Calcule E(X + Y).
Ta réponse
Aide d’ULU pour cet exercice
Exercice 4 sur 8
Vrai ou faux
Pour toutes variables aléatoires X et Y, V(X + Y) = V(X) + V(Y).
Vrai ou faux ?
VraiFaux
Aide d’ULU pour cet exercice
Exercice 5 sur 8
Calcul
On lance 10 dés équilibrés à 6 faces. Quelle est l’espérance de la somme des faces obtenues ?
Ta réponse
Aide d’ULU pour cet exercice
Exercice 6 sur 8
Calcul
Pour un dé équilibré, V = . Calcule la variance de la somme de deux dés indépendants, arrondie au centième.
Ta réponse
Aide d’ULU pour cet exercice
Exercice 7 sur 8
Calcul
Une variable X a pour écart type σ = 6. Quel est l’écart type de la moyenne M d’un échantillon de taille 36 de la loi de X ?
Ta réponse
Aide d’ULU pour cet exercice
Exercice 8 sur 8
Question ouverte
Soit X une variable de loi B(n ; p). En écrivant X comme somme de variables de Bernoulli, retrouve E(X) et V(X).
Ta réponse
Aide d’ULU pour cet exercice

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