Lancer plusieurs fois un dé, contrôler des pièces dans une grande production, répondre au hasard à un QCM : ces situations répètent la même expérience de façon indépendante. La loi binomiale compte le nombre de succès obtenus et permet de calculer des probabilités sans dessiner d’arbre géant.
Une question sur ce cours ?
ULU, le tuteur d’ULUMINE, t’aide à partir de ce cours.
Objectifs
- Modéliser une succession d’épreuves indépendantes
- Reconnaître un schéma de Bernoulli et une loi binomiale
- Calculer P(X = k), P(X ≤ k), P(X ≥ k)
- Connaître l’espérance et la variance d’une loi binomiale
- Déterminer un seuil à l’aide de la loi binomiale
1. Épreuves indépendantes
Lorsqu’on répète des épreuves indépendantes, l’univers est un produit cartésien et la probabilité d’une issue (une liste de résultats) est le produit des probabilités de chaque résultat.
On lance deux fois une pièce équilibrée puis un dé équilibré
- P(pile, pile, 6) = × ×
P =
2. Épreuve et schéma de Bernoulli
Épreuve de Bernoulli : Expérience aléatoire à deux issues : succès (probabilité p) et échec (probabilité 1 − p). La variable qui vaut 1 en cas de succès et 0 sinon suit la loi de Bernoulli de paramètre p : E = p et V = p(1 − p).
Schéma de Bernoulli : Répétition de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes de paramètre p.
Loi binomiale : Dans un schéma de Bernoulli, la variable X égale au nombre de succès suit la loi binomiale de paramètres n et p, notée B(n ; p).
3. Calculer des probabilités
P(X = k) = C(n, k) × pᵏ × (1 − p)n−k
X suit B(5 ; 0,4) : calculer P(X = 3)
- C(5, 3) = 10
- P(X = 3) = 10 × 0,4³ × 0,6² = 10 × 0,064 × 0,36
P(X = 3) = 0,2304
4. Espérance, variance, écart type
| Indicateur | Formule pour B(n ; p) |
|---|---|
| Espérance | E(X) = np |
| Variance | V(X) = np(1 − p) |
| Écart type | σ(X) = √(np(1 − p)) |
À retenir
- Épreuves indépendantes : on multiplie les probabilités.
- X = nombre de succès dans n épreuves de Bernoulli indépendantes de paramètre p ⟹ X suit B(n ; p).
- P(X = k) = C(n, k)pᵏ(1 − p)n−k.
- E(X) = np et V(X) = np(1 − p).
Et maintenant, à toi !
Vérifie que tu as compris avec les exercices, puis révise avec la fiche.