Exercice 1 sur 8
QCMOn lance 10 fois un dé équilibré et on note X le nombre de 6 obtenus. X suit la loi :
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Exercices : épreuves indépendantes et loi binomiale
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Épreuves indépendantes et loi binomiale — S’entraîner
Feuille d’exercices
Prénom : ……………………………Date : ……………………Score : ……… / 8
Justifie toujours la loi binomiale : épreuves identiques, indépendantes, à deux issues, et X compte les succès.
Exercice 1 — Coche la bonne réponse.
On lance 10 fois un dé équilibré et on note X le nombre de 6 obtenus. X suit la loi :
- B(6 ; )
- B(10 ; )
- B(10 ; )
- B(10 ; 6)
Exercice 2
X suit B(4 ; 0,5). Calcule P(X = 2).
Écris tes calculs :
Réponse : ………………
Exercice 3
X suit B(10 ; 0,3). Calcule E(X).
Écris tes calculs :
Réponse : ………………
Exercice 4
X suit B(10 ; 0,3). Calcule V(X).
Écris tes calculs :
Réponse : ………………
Exercice 5
X suit B(5 ; 0,2). Calcule P(X ≥ 1), arrondie au millième.
Écris tes calculs :
Réponse : ………………
Exercice 6
X suit B(5 ; 0,4). Calcule P(X = 3) (valeur exacte).
Écris tes calculs :
Réponse : ………………
Exercice 7 — Coche « Vrai » ou « Faux ».
On tire successivement et sans remise 3 boules dans une urne contenant 4 boules rouges et 2 vertes. Le nombre de boules rouges tirées suit une loi binomiale.
VraiFaux
Exercice 8
Un tireur atteint sa cible avec une probabilité 0,1 à chaque tir, de façon indépendante. Quel nombre minimal n de tirs faut-il pour que la probabilité d’atteindre la cible au moins une fois soit supérieure ou égale à 0,99 ?
Écris tes calculs :
Réponse : ………………
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Épreuves indépendantes et loi binomiale — S’entraîner
Corrigé détaillé — pour les parents et les enseignants
Exercice 1
Réponse : B(10 ; )
10 répétitions identiques et indépendantes d’une épreuve de Bernoulli de succès « obtenir 6 », de probabilité .
Exercice 2
Réponse : 0,375
P(X = 2) = C(4, 2) × 0,5² × 0,5².
- C(4, 2) = 6
- 6 × 0,0625 = 0,375
Exercice 3
Réponse : 3
E(X) = np = 10 × 0,3 = 3.
Exercice 4
Réponse : 2,1
V(X) = np(1 − p) = 10 × 0,3 × 0,7 = 2,1.
Exercice 5
Réponse : 0,672
On passe par l’événement contraire.
- P(X = 0) = 0,8⁵ = 0,32768
- P(X ≥ 1) = 1 − 0,32768 = 0,67232 ≈ 0,672
Exercice 6
Réponse : 0,2304
P(X = 3) = C(5, 3) × 0,4³ × 0,6².
- C(5, 3) = 10
- 10 × 0,064 × 0,36 = 0,2304
Exercice 7
Réponse : Faux
Sans remise, la composition de l’urne change à chaque tirage : le résultat d’un tirage modifie les probabilités du suivant, les épreuves ne sont donc pas indépendantes. Ce n’est pas un schéma de Bernoulli.
Exercice 8
Réponse : 44
Le nombre de succès X suit B(n ; 0,1) et P(X ≥ 1) = 1 − 0,9ⁿ.
- 1 − 0,9ⁿ ≥ 0,99 ⟺ 0,9ⁿ ≤ 0,01
- ⟺ n ln(0,9) ≤ ln(0,01) ⟺ n ≥ (on divise par ln(0,9) < 0 : le sens change)
- ≈ 43,7, donc n = 44
Justifie toujours la loi binomiale : épreuves identiques, indépendantes, à deux issues, et X compte les succès.
Exercices corrigés : 0 / 8
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Exercice 2 sur 8
CalculX suit B(4 ; 0,5). Calcule P(X = 2).
Aide d’ULU pour cet exerciceExercice 3 sur 8
CalculX suit B(10 ; 0,3). Calcule E(X).
Aide d’ULU pour cet exerciceExercice 4 sur 8
CalculX suit B(10 ; 0,3). Calcule V(X).
Aide d’ULU pour cet exerciceExercice 5 sur 8
CalculX suit B(5 ; 0,2). Calcule P(X ≥ 1), arrondie au millième.
Aide d’ULU pour cet exerciceExercice 6 sur 8
CalculX suit B(5 ; 0,4). Calcule P(X = 3) (valeur exacte).
Aide d’ULU pour cet exerciceExercice 7 sur 8
Vrai ou fauxOn tire successivement et sans remise 3 boules dans une urne contenant 4 boules rouges et 2 vertes. Le nombre de boules rouges tirées suit une loi binomiale.
Aide d’ULU pour cet exerciceExercice 8 sur 8
CalculUn tireur atteint sa cible avec une probabilité 0,1 à chaque tir, de façon indépendante. Quel nombre minimal n de tirs faut-il pour que la probabilité d’atteindre la cible au moins une fois soit supérieure ou égale à 0,99 ?
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